Otras carreras Cilindro y bloque

[Pulley]

Hola, les muestro el siguiente problema:



Es un cilindro uniforme de masa $M$ y radio $R$ que descansa sobre un bloque de masa $m,$ el cual a su vez se encuentra en reposo sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Si se aplica al bloque una fuerza horizontal $F,$ éste acelera y el cilindro rueda sin deslizamiento. Determinar la aceleración del bloque.

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Lo que tengo no es mucho:

Aplicamos la 2da. Ley de Newton para bloque, entonces $F-f'=ma_B,$ y para el cilindro, tenemos que $f=Ma_C,$ ahora relaciono el torque con el momento de inercia del cilindro y queda $f\cdot R=I\cdot\alpha.$ ($f$ es la respectiva fuerza de roce entre el cilindro y bloque al momento del movimiento y $f'$ es la fuerza de roce entre el bloque y la superficie.)

Hasta acá no más llego, no sé qué más hacer.

[GNzcuber]

Re: Cilindro y bloque

Hola pulley,

Creo yo que con relacionar la aceleración angular con la tangencial mediante la condición de rodadura tendrás suficiente. Primero voy a calcular el momento de inercia del cilindro respecto su eje:

$$\dst I=\int_M r^2{d}m=\rho\int_V r^2{d}\left(\pi r^2 h\right)=2\pi\rho h\int_0^R r^3{d}r=2\pi\left(\frac{M}{\pi R^2 h}\right)h\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R=\frac{MR^2}{2}$$

Luego, las condiciones dinámicas:

$$\dst \left.\begin{aligned}F-f'=ma_B\\ f\cdot R=I\cdot\alpha\\ I=\frac{MR^2}{2}\\ \alpha=\frac{a_C}{R}\\ f'=-f\end{aligned}\right\}a_B=\frac{2F+Ma_C}{2m}$$

Ahora deberíamos buscar dicha función pero que no dependa de la aceleración del cilindro, un dato desconocido. Sin embargo no puedo usar la relación que propones, ya que no veo muy claro que sea así, creo que parte de la fuerza realiza trabajo, que se convertirá en energía cinética de rotación, y otra parte en energía cinética de traslación. Si lo vemos desde un sistema de referencia inercial en reposo respecto al sistema en el que se encontraba el bloque en reposo cuando no actuaba la fuerza, veremos que:

$$\dst F-f'=M\cdot a_C$$

Pero no estoy muy seguro de ello. Si fuera cierto el resultado sería:

$$\dst a_B=2\frac{F}{m}$$

Que por supuesto no tiene sentido, ya que aún invirtiendo energía en hacer rodar el cilindro obtendría una aceleración doble a si fuera el bloque solo :P.

Y si uso tu propuesta ($\dst f=Ma_C$) el resultado es:

$$\dst a_B=\frac{F}{m}$$

Y el cilindro no haría ningún efecto, tampoco me parece correcto el resultado. A ver si alguien viene con una lámpara y nos puede iluminar.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Cilindro y bloque

A ver si les parece razonable esto.

La fuerza aplicada al bloque hace que este acelere y al hacerlo arrastre al cilindro aplicando sobre él una fuerza de fricción $f$ que lo desplaza y lo hace rodar.

La suma de fuerzas sobre el bloque sería: $\dst F - f = m a_b$

La fuerza de fricción $f$ acelera el cilindro: $\dst f = M a_c$

La fuerza de fricción $f$ hace girar el cilindro: $\dst f R = I \alpha$

Cuando el bloque se desplaza una distancia $x$, el cilindro se desplaza una distancia menor $x'$ ya que rueda hacia atrás $x' = x - R \theta$, por lo tanto la aceleración del cilindro es: $a_c = a_b - R \alpha$

Poniendo todo junto y usando el momento de inercia $\dst I = M R^2/2$ se obtiene que $\dst a_b = \frac F {m+M/3}$

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: Cilindro y bloque

Hola:


Para el bloque se tiene:

$F-fr=m\cdot a_m$

Para el cilindro:

$fr=M\cdot a_M$
$fr \cdot R=I\alpha=\dst\frac 12MR^2\alpha$

Ahora detengamonos un poco en el movimiento relativo del bloque y el cilindro. Consideremos las posiciones de sus centros de masa en un instante dado. Ahora consideremos un instante posterior, donde sus posiciones respecto al instante inicial serán para el bloque $x_m$ y para el cilindro$x_M$. O sea que el cilindro habrá recorrido $x_M-x_m$ sobre el bloque en la dirección izquierda (aunque el desplazamiento respecto a un observador inercial es positivo). Aplicando la condición de rodadura pura, se tiene que el desplazamiento angular es $\theta=\dst\frac{x_m-x_M}{R}$ y por lo tanto $\alpha=\dst\frac{a_m-a_M}{R}$.

Por lo tanto:

$F=m\cdot a_m+M\cdot a_M$
$M a_M\cdot R=\dst\frac12MR^2\dst\frac{a_m-a_M}{R}$

Despejando se tiene:

$a_M=\dst\frac13 a_m$

y

$a_m=\dst\frac{F}{m+\dst\frac13M}$

Saludos
Carmelo

PD: Me ganó Al, pero al menos coincidimos en el resultado.

[Pulley]

Re: Cilindro y bloque

Hola, gracias a todos por sus respuestas; por qué la fuerza de roce que experimenta el cilindro al rodar en el bloque, es la misma que la del bloque cuando éste se mueve en la mesa?

También, ustedes afirman que $a_C=a_B+a_{CB},$ donde la primera es la aceleración del cilindro, la segunda del bloque y la 3era. la aceleración del cilindro respecto del bloque, pero no me queda clara la suma, por qué es así?

Muchas gracias.

[carmelo]

Re: Cilindro y bloque

Hola:
La primera pregunta, Tercera ley de Newton. Segunda considera los desplazamientos de cada cuerpo y luego toma $a=\dst\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t ^2}$

Saludos
Carmelo

[Pulley]

Re: Cilindro y bloque

Oh verdad!