1r ciclo Rozamiento en caída libre.

[darento]

Pues tengo un problema con el rozamiento cuando son ha altas velocidades donde tienes que considerarlo proporcional al cuadrado de la velocidad ( F = k · v^2 ) , cuando es proporcional a la velocidad se hacerlo, osea, se encontrar la velocidad en función del tiempo, pero con el termino cuadrático no me aclaro con la integral y el tratamiento posterior, si alguien me lo hiciera un poco detallado se lo agradecería.

Saludos!

[arreldepi]

Re: Rozamiento en caída libre.

Sí... queda una integral un poco fea, verdad? xD. Yo antes estaba intentando resolver este problema y, según el Schaum's la solución puede ser o un logaritmo o arcotangente hiperbólica. El wolfram alpha, da como solución para v(0)=0, la siguiente:

$$v(t)=-\sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh\left(t\sqrt{\frac{kg}{m}}\right)$$

Parece lógico, ya que si $k\to 0$ entonces $v(t)\to gt$

Luego hay que integrar esto de nuevo xD, queda una cosa un poco heavy xD. De nuevo, con el wolphram alpha,para x(0)=0, obtienes que

$$x(t)=\frac{\sqrt{\frac{gm}{k}}\ln\left(\cosh\left(t\sqrt{\frac{kg}{m}}\right)\right)}{\sqrt{\frac{kg}{m}}}.$$

Si tomas el límite para $k\to 0$ obtienes que $x(t)\to \frac 12 gt^2$.


Bueno, es posible que mañana nos lo resuelvan en clase, si nos lo resuelven de una forma más legal, ya copiaré el procedimiento.

Saludos!

[Al2000]

Re: Rozamiento en caída libre.

Si te refieres al caso particular (mas sencillo) de un cuerpo que cae sujeto a esa fuerza de fricción (ademas de su peso), el planteamiento sería algo así:

- Fuerza: $\dst F = m g - k v^2$

- Aceleración: $\dst a = g - \frac k m v^2 = \frac {dv}{dt}$

- Separando variables: $\dst \frac {dv}{g - \frac k m v^2} = dt$

- Integra imponiendo las condiciones iniciales que sean aplicables: $\dst \int_{v_0}^{v}\! \frac {dv}{g - \frac k m v^2} = t$

- Despeja $v$: {to do}

Saludos,

Al

[arreldepi]

Re: Rozamiento en caída libre.

Bueno, efectivamente, hoy lo hemos resuelto en clase y... hemos tirado de Schaum's xD. Lo único que para calcular los límites él ha hecho el desarrollo de Taylor de la función x(t) y yo usé el wolphram alpha xD. Si necesitas algún paso más detallado, pídelo y te lo indico, ok?

Saludos!