Secundaria Encuentro en caída libre y tiro vertical

[Galileo]

Se lanza verticalmente y hacia arriba una pelota con una velocidad de 10 m/s. En ese instante, se deja caer otra, partiendo del reposo, desde 10 m de altura. Calcula el punto de encuentro y la velocidad de las pelotas en el momento del choque.

Esto es lo que he hecho primero para calcular el punto de encuentro:

$<br /> y1=y2 <br />$

$<br /> 10+\frac12(-9,8)t^2=\frac12(-9.8)t^2\to <br /> 10+ (-4,9)t^2=-4,9t^2<br />$

Pero no sé como seguir ni como eliminar t^2 en ambos miembros.

Espero que esté bien planteado.

[angel relativamente]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

Recuerda la fórmula de un MRUA:

$$<br /> \dst s=s_0 +v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

Si tomamos como SR el suelo (desde donde lanzamos la primera pelota) y decimos que "positivo hacia arriba", tendríamos la siguiente formula:

$$\dst s_y=10t-\frac{1}{2}gt^2$$

Y la fórmula para la segunda pelota sería:

$$\dst s_y=10-\frac{1}{2}gt^2$$

Ahora ya puedes igualarlas y despejar t como una ecuación de 2º grado normal. Espero que se haya entendido. Cualquier duda no "dudes" en preguntar.

Saludos!

[Galileo]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

$Pelota 1\to y_1:10t +\frac12(-9,8)t^2$
$Pelota 2\to y_2:10+\frac12(-9,8)t^2$

$y_1=y_2$

$<br /> 10t-4,9t^2=10-4,9t^2<br />$
$\Rightarrow -4,9t^2+4,9t^2+10t+10=0$

Ahora el problema es que si resto estos dos monomios $-4,9t^2+4,9t^2=0$ me quedo sin poder hacer una ecuación de segundo grado.

¿Dónde he cometido el fallo?

Gracias!

[Al2000]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

¿Y por qué tiene que ser una ecuación de segundo grado? Te sugiero que sigas hasta el final, eso si, corrige el errocito de despeje que cometiste con el 10, al cual le cambiaste el signo.

Saludos,

Al

[Galileo]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

Ya encontré donde estaba fallando.

Resulta que yo pensaba que caída libre y tiro vertical eran lo mismo, vamos que las ecuaciones eran idénticas, y lo serian sino fuera porque cambia uno de sus signos y no me estaba dando cuenta todo el rato.

Caída libre: $y:y_0+vt+\frac12gt^2$
Tiro vertical: $y:y_0+vt-\frac12gt^2$

$Pelota 1\to y_1:10t -\frac12(-9,8)t^2$
$Pelota 2\to y_2:-10+\frac12(-9,8)t^2$

$y_1=y_2$

$<br /> 10t+4,9t^2=-10-4,9t^2<br />$

$\Rightarrow 9,8t^2+10t+10=0$

$y=-b+-\sqrt[2]{b^2 - 4ac} =-(10)+-\sqrt[2]{10^2 - 4*9.8*10}=-(10)+-\sqrt[2]{100 - 392}$
------------------------------------------------------------------------

2a

Ahora el problema es que el discriminante (suponiendo que el problema esté bien) me da negativo (100-392=-292) ¿entonces no hay solución para el problema?

PD: si alguien sabe como poner ecuaciones de segundo grado y que no quedan tan chapuceras como la mía que me diga como se hace, gracias!

¿Y por qué tiene que ser una ecuación de segundo grado? Te sugiero que sigas hasta el final, eso si, corrige el errocito de despeje que cometiste con el 10, al cual le cambiaste el signo.

Saludos,

Al

Tengo entendido que en los problemas de encuentros se resuelven con ecuaciones de segundo grado ¿?

[Al2000]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

...
Tengo entendido que en los problemas de encuentros se resuelven con ecuaciones de segundo grado ¿?

No necesariamente. En este caso precisamente el factor cuadrático en las dos ecuaciones es idéntico y no interviene en la solución.

Estás equivocando el enfoque. Estás en lo correcto cuando afirmas que caida libre y tiro vertical son básicamente lo mismo. Ambos se describen con la misma ecuación:

$$y = y_0 + v_0\,t - \frac 1 2 g\,t^2$$

En ambos casos la aceleración es la de la gravedad que tira de los cuerpos hacia abajo. Lo que cambia son las condiciones iniciales. Allí es donde vas a tener una diferencia. Usualmente en la caida libre el cuerpo cae a partir del reposo, pero casi todas las combinaciones de posición inicial y velocidad inicial son posibles.

En la ecuación anterior, el sentido positivo es hacia arriba, por eso aparece la aceleración como negativa explícitamente. Una velocidad inicial dirigida hacia arriba, como ocurre en el lanzamiento vertical, será positiva. En la caida libre la velocidad inicial será cero (parte del reposo), negativa (el cuerpo es lanzado hacia abajo) o positiva (el cuerpo es lanzado hacia arriba). Este último caso ¿es una caida libre o un lanzamiento vertical? La posición inicial puede tener cualquier valor, incluso cero en una caida libre (podrías dejar caer un cuerpo desde el suelo hasta el fondo de un pozo, por ejemplo).

Regresa a tus ecuaciones y no te preocupes porque el término cuadrático se cancele (mas bien da gracias por ello ). La solución resulta mas simple de lo que estás pensando.

Saludos,

Al

[Galileo]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

Bueno, creo al final he conseguido resolverlo con vuestra ayuda (espero que ahora sí esté bien). El problema es que en mi libro viene las formulas de caída libre y tiro vertical en positivo. En alguna otra página web viene como positivo y otro negativo y terminé hecho un lío de mucho cuidado.

Caída libre: $y:y_0+vt-\frac12gt^2$
Tiro vertical: $y:y_0+vt-\frac12gt^2$

$Pelota 1\to y_1:10t -\frac12(-9,8)t^2$

$Pelota 2\to y_2:-10-\frac12(-9,8)t^2$

$y_1=y_2$

$10t-4,9t^2=-10-4,9t^2$

$\Rightarrow 10t+10=0\Rightarrow t=\frac{-10}{10 } \Rightarrow t=-1s$

$y_1:10*(-1) -\frac12(-9,8)(-1)^2=-10+4,9=-5,1m$

$y_2:-10-\frac12(-9,8)(-1)^2=-10+4,9=-5,1m$

Se encuentran a los -5,1m

Gracias a todos!

[angel relativamente]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

$$Pelota 1\to y_1:10t -\frac12(-9,8)t^2$$

Esto no es cierto. El signo menos (-) o bien lo pones delante de 1/2 o bien delante de g, pero si lo pones delante de ambos se queda positivo. Es decir:

$$Pelota 1\to y_1:10t -\frac12(9,8)t^2 \;\; \textrm{o}\;\; y_1:10t +\frac12(-9,8)t^2$$

Pero parece ser que después mágicamente lo convertiste en 1 solo negativo (repito,mágicamente ya que con la ecuación inicial te debió de salir positivo).

Luego veo otro error. Cuando pones la posición inicial, ¿por qué la pones en negativo? Se supone que has tomado: Positivo hacia arriba, negativo hacia abajo. Por tanto la aceleración de la gravedad ha de ser negativa (como bien has puesto), y la velocidad inicial positiva (como también has puesto). Pero los 10m estan "hacia arriba" de tu sistema de referencia, por tanto debería de estar en positivo.

Mirate esas cosas y ya dices a ver que te sale

Saludos!

[Galileo]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

Esto no es cierto. El signo menos (-) o bien lo pones delante de 1/2 o bien delante de g, pero si lo pones delante de ambos se queda positivo. Es decir:

$$Pelota 1\to y_1:10t -\frac12(9,8)t^2 \;\; \textrm{o}\;\; y_1:10t +\frac12(-9,8)t^2$$

Pero parece ser que después mágicamente lo convertiste en 1 solo negativo (repito,mágicamente ya que con la ecuación inicial te debió de salir positivo).

La verdad que en los apuntes lo he hecho bien, lo que no sabía era que si se pone el signo (-) delante de 1/2 la g se queda positiva. Por eso en los libros
viene así

$$y:y_0vt +\frac12(-9,8)t^2$$

y realmente me parecia raro veros poner (-) delante de 1/2.

Luego veo otro error. Cuando pones la posición inicial, ¿por qué la pones en negativo? Se supone que has tomado: Positivo hacia arriba, negativo hacia abajo. Por tanto la aceleración de la gravedad ha de ser negativa (como bien has puesto), y la velocidad inicial positiva (como también has puesto). Pero los 10m estan "hacia arriba" de tu sistema de referencia, por tanto debería de estar en positivo.
Mirate esas cosas y ya dices a ver que te sale
Saludos!

Tienes razón, no sé porque la pongo negativa. Creo que tomé como sistema de referencia mirando desde arriba.

Voy poner la solución ya corregida que espero que ya esté perfecta:


Caída libre: $y:y_0+vt+\frac12(-g)t^2$
Tiro vertical: $y:y_0+vt+\frac12(-g)t^2$

$Pelota 1\to y_1:10t +\frac12(-9,8)t^2$

$Pelota 2\to y_2:10+\frac12(-9,8)t^2$

$y_1=y_2$

$10t-4,9t^2=10-4,9t^2$

$\Rightarrow 10t-10=0\Rightarrow t=\frac{10}{10 } \Rightarrow t=1s$

$y_1:10*1 +\frac12(-9,8)1^2=10-4,9=5,1m$

$y_2:10+\frac12(-9,8)1^2=10-4,9=5,1m$

Se encuentran a los 5,1m

Muchas gracias!

[angel relativamente]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

Pues parece que está perfecto esa es la solución. Es aconsejable que le hagas un dibujito donde indiques el sistema de referencia elegido, en este caso pon que eliges como sistema de referencia el suelo (además no está de más indicar positivo hacia arriba y negativo hacia abajo con dos flechitas). Porque hay profesores muy cap... pero que muy buenos que te dicen: ¿A 5.1m de donde? ¿De el balcon donde se deja caer la pelota 2 o del suelo?

Hay que indicarselo todo

Saludos!

[Al2000]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

La verdad que en los apuntes lo he hecho bien, lo que no sabía era que si se pone el signo (-) delante de 1/2 la g se queda positiva. Por eso en los libros
viene así

$$y:y_0vt +\frac12(-9,8)t^2$$

y realmente me parecia raro veros poner (-) delante de 1/2.
...

En un contexto mas general, ya no solamente circunscrito al lanzamiento vertical/caida libre, la ecuación de movimiento para un cuerpo que se mueve con aceleración constante viene dada por

$$x = x_0 + v_0\,t + \frac 1 2 \,a\,t^2$$

En la expresión anterior la $x$ representa la distancia recorrida, no importa como se llame. Estoy omitiendo la representación vectorial porque no se tu nivel de conocimientos y no es eso a lo que me quiero referir.

Hay muchos problemas de movimiento acelerado que no tienen que ver con la aceleración de gravedad. Por ejemplo, un automovil puede moverse con aceleración constante (al menos por un tiempo); su posición en un algún instante $t$ vendría dado por la ecuación anterior. Muchas otras situaciones que probablemente estudiarás en el futuro involucran alguna aceleración distinta de la aceleración de gravedad: fuerzas elásticas, fuerzas eléctricas, etc.

Por eso es conveniente irse familiarizando con las formas mas generales para tener una visión panorámica y no ver la Física como compartimientos separados unos de otros. En ese contexto, la aceleración de gravedad es simplemente una aceleración como cualquier otra. El signo con el que aparece en la ecuación depende de la dirección que nosotros asumamos como positiva. Si consideras que la dirección "hacia arriba" es positiva (que es lo usual), entonces la aceleración de gravedad será negativa.

Recuerda que eso es un convencionalismo y no ninguna ley. Por supuesto, los convecionalismos existen para que nos entendamos con mayor facilidad. Si tu decides, porque es conveniente, o mas cómodo, o simplemente porque se te antojó, salirte de algún convencionalismo (podrías decir que hacia abajo es positivo), tendrás que aclararlo suficientemente para no inducir a error a quien te lea. El comentario que te hizo angel relativamente sobre la referencia desde donde mides los 5.1 m es muy válido, ya que ese es otro convencionalismo. No existe una altura universalmente cero. Tu decides cual es tu nivel de referencia y debe quedar claro para quien te lea cuál es esa referencia.

Saludos,

Al

[elmo14]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

Hola,yo encontre este problema en yahoo respuestas,y lo habia planteado igual que el usuario galileo,planteo ecuaciones horarias de tiro vertical y caida libre,pero me pasa lo mismo,en la ecuacion cuadratica me queda negativo....hay que hacerlo con las ecuaciones horarias o no??

[angel relativamente]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

No hay ninguna regla que diga que un cuerpo que frene (o desacelere como tú dices) haya de llevar el signo menos. Tampoco la hay para afirmar que si tiene signo positivo esté acelerando. Y no existen reglas precisamente porque depende de dónde hayamos elegido nuestro SISTEMA DE REFERENCIA. En ese ejercicio tomé (hace un año y medio) el sistema de referencia en el suelo y determiné la siguiente condición: Todo lo que vaya "hacia arriba" será positivo, y todo lo que vaya "hacia abajo", negativo. Siguiendo esa condición, es fácil ver que si la segunda pelota te dice que se encuentra a 10m de altura, quiere decir que la posición inicial de la segunda pelota es:$s_0=10\; m$ . Si hubiese dicho que hacia abajo es positivo mientras que hacia arriba es negativo, a partir de esa condición, podría decir que:$s_0=-10\; m$ , y sería perfectamente válido en mi sistema de referencia con mis condiciones. Pero por simplicidad, he tomado hacia arriba positivo para simplificar el criterio de signos. Pero eso implica que todo lo que vaya hacia abajo será negativo. ¿Y que apunta hacia abajo? ¡La aceleración gravitatoria!. Independientemente de que el cuerpo esté subiendo o esté bajando, la aceleración gravitatoria lo que hace es ayudarle a ir "hacia abajo" y en nuestras condiciones hemos dicho que todo lo que va hacia abajo es negativo. Luego en los movimientos de ambas pelotas consideraremos $g=-9,8 \; m/s^2$

¡Saludos!

[elmo14]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

Pero eso es lo que no entiendo.Porque del libro el cual yo estoy estudiando,en la parte de caida libre me dice que la ecuacion del espacio es S=So+Vo.t+1/2.g.t²....y la de espacio en tiro vertical me dice que es S=So+Vo.t-1/2.g.t²....Ahora,si en un problema de caida libre yo digo como vos decis,que todo lo que va hacia abajo lo tomo como negativo,me daria un resultado distinto al correcto.....

[Al2000]

Re: Encuentro en caída libre y tiro vertical

elmo14, no leas directamente la fórmula sin leer primero todos los "Considerando...", "Tomando en cuenta...", "Por lo tanto...", etc que escribe un autor cuando está desarrollando una expresión. En esas palabras debe estár señalado el sistema de referencia que se usa en cada caso. Ya lo demás es una cuestión de valorar si el autor ha hecho bien o mal al usar varios sistemas de referencia en lugar de uno solo.

Desgraciadamente muchas veces por querer simplificar conceptos se introducen tantos casos particulares que hacen confuso el panorama general. Este es un caso, donde se separa la "caída libre" del "lanzamiento vertical", siendo que ambos casos se describen perfectamente con la misma ecuación (S=So+Vo.t+1/2.a.t²) y el uso coherente de los signos de la velocidad inicial y la aceleración.

Saludos,

Al