Secundaria Sobre aceleracion de un anillo con polea no ideal .

[lindtaylor]

Un bloque de masa $M$y un anillo de masa $2M$ y radio $R$, ambos homogeneios, cuelgan unidos por una cuerda ideal sin masa, que pasa por una polea. La polea es un disco homogeneo de masa $M$ y radio $3R$.
El sistema completo se suelta desde el reposo. Encuentre la aceleracion del anillo y la del bloque.


Necesito ayuda en este ejercicio que no puede hacer en la prueba . X D.

lo que he echo yo es:

$y_1$: posicion anillo
$y_2$osicion bloque
$H$: altura constante suponiendo que en un cierto instante el sistema cae al reposo, y la cuerda se desenrolla totalmente.
$I_1$:momento inercia anillo
$I_2$:momento inercia polea
$\theta_1$:angulo del anillo,
$\theta_2$ angulo del la polea

$y_1=3R\theta_2 + R\theta_1$

$y_2=3R\theta_2$

$\displaystyle 3MgH=3MgH+2Mgy_1+Mgy_2+\frac {I_1 \dot \theta_1^2}{2}+\frac {I_2 \dot \theta_2^2}{2}$
quiero ver si lo que hago esta bien, para seguir el ejercicio.
gracias de antemano.

[lindtaylor]

Re: Sobre aceleracion de un anillo con polea no ideal .

lo que he echo yo es:

y_1=3R\theta_2 + R\theta_1

y_2=3R\theta_2

$\displaystyle 3MgH=3MgH+2Mgy_1+Mgy_2+\frac {I_1 \dot \theta_1^2}{2}+\frac {I_2 \dot \theta_2^2}{2}$

[Al2000]

Re: Sobre aceleracion de un anillo con polea no ideal .

Interesante el problemita. Con los datos de masas y radios indicados obtengo el curioso resultado de que el anillo baja con una aceleración de g/2 mientras que el bloque queda suspendido en el aire sin moverse Ojalá carmelo le pueda echar un ojo a los cálculos a ver que le parecen.

OK, pongo las ecuaciones que usé. Como hago casi siempre, la solución se la dejé al computador. En estas ecuaciones el subíndice $b$ se refiere al bloque, $p$ para la polea y $a$ para el anillo. Las fuerzas y aceleraciones las tomé positivas hacia arriba. La aceleración angular la tomé positiva en sentido horario.

- Suma de fuerzas bloque: $\dst T_b - m_b g = m_b a_b$

- Suma de momentos polea: $\dst (T_a-T_b) R_p = I_p \alpha _p$

- Suma de fuerzas anillo: $\dst T_a - m_a g = m_a a_a$

- Suma de momentos anillo: $\dst T_a R_a = -I_a \alpha_a$

- Ligadura bloque-polea: $\dst a_b = \alpha_p R_P$

- Ligadura anillo-polea: $\dst a_a = -\alpha_p R_p + \alpha _a R_a$

La solución de este sistema así como está escrito es muy larga para copiarla aquí. Cuando se sustituye el momento de inercia del anillo, $\dst I_a = m_a R_a^2$, el momento de inercia de la polea, $\dst I_p = \frac 1 2 m_p R_p^2$ y los datos de las masas y los radios indicados en el enunciado se obtiene el resultado que ya mencioné antes: $\dst a_a = -\frac 1 2 g\,,\,\,a_b=0$. Además la polea permanece estacionaria, el anillo gira con aceleración angular $\dst \alpha_a = - \frac 1 2 \frac g R$ (sentido antihorario) y la cuerda soporta tensiones iguales $T_b = T_a = M g$.

La ventaja del computador es que te permite revisar varias situaciones sin mayor esfuerzo una vez que has planteado las ecuaciones. Tratando de ver si el resultado es razonable probé poniendo la masa del anillo igual a la del bloque (M). Si el anillo no se desenrollase, el sistema permanecería en equilibrio estático, pero como el anillo se desenrolla y empieza a bajar, disminuyendo la tensión en su lado de la cuerda, se llega al resultado

$$a_b = -\frac 1 4 g\,,\,\,a_a = - \frac 3 8 g\,,\,\,\alpha_a = - \frac 5 8 \frac g R\,,\,\,\alpha_p = - \frac 1 {12} \frac g R\,,\,\,T_b = \frac 3 4 M g\,,\,\,T_a = \frac 5 8 M g$$

¿Qué tal? Saludos,

Al

[lindtaylor]

Re: Sobre aceleracion de un anillo con polea no ideal .

bien raro el problema pero genial : S, ojala carmelo se haga presente y me ilumine X D

[Al2000]

Re: Sobre aceleracion de un anillo con polea no ideal .

Hay un chequeo que hice después de publicar mi respuesta (en verdad debí hacerlo antes ) que es usar el resultado para calcular el cambio de energía del sistema. Usando las aceleraciones obtenidas y partiendo del reposo, cuando el anillo baja una distancia $h$ gana una energía cinética traslacional igual a $\frac 1 2 m g h$ y una energía cinética rotacional de exactamente el mismo valor, para una energía total $m g h$ como sería de esperar.

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: Sobre aceleracion de un anillo con polea no ideal .

Hola:

Al: Lo hice y llego al mismo resultado que tu. (Lo que no quiere decir que esté correcto, quizas los dos cometimos el mismo error, jeje). Me llama la atención el resultado, sería un poco mas divertido que el bloque se moviera.

lindtaylor: siento no poder aportar mas alla de lo que ya comentó Al. Igualmente cualquier duda consulta

Saludos
Carmelo