1r ciclo Ejercicio de cinemática (I)

[skinner]

Buenas a todos, me gustaría que me ayudasen a resolver el ejercicio 4 del enlace: Boletín

No quiero ni mucho menos la solución, sólo quiero saber cómo plantearíais vosotros el problema... llevo dos horas y aún no veo por donde cogerlo. Yo he intentado lo siguiente:

La longitud de A a C será (por la definición de radián) igual a $S_{0}=R\theta$. Por tanto, la longitud que abarcará la cuerda una vez enrollada sobre la circunferencia, será: $\ell - S_{0}=R(\pi -\theta )=S_{1}$, siendo $\ell$ la longitud de la cuerda.

Definimos un vector posición desde el origen O hasta el punto inicial, y este vector será $\vec{r}(t_{0}=0)\equiv \vec{r}(0)$. También definimos un vector desde el origen 0 hasta el punto donde descansará la partícula una vez enrollada la cuerda (Q). Este vector posición será: $\vec{r}(t)$

Ahora definimos la resta de los vectores OP y OQ, cuyo resultado será otro vector de módulo igual a la distancia entre P y Q:

$\Delta \vec{r}(t)=\vec{r}(t) - \vec{r}(0)$

Pero no sé si voy por buen camino con ese razonamiento... de momento quiero resolver el apartado (a) del ejercicio, que pide Calcular las ecuaciones paramétricas de la trayectoria seguida por la partícula. Me he encontrado con unas dificultades:

(1) No sé calcular $\vec{r}(t)$, puesto que las ecuaciones paramétricas de la circunferencias vienen dadas en función de un ángulo. Calculé $\vec{r}(\theta)$, lo reparametricé en $\vec{r}(s(\theta))$, pero no sé volver a reparametrizarlo en función de t. Sé reparametrizar una función de t en otra función del parámetro arco s, pero no al revés...
(2) ¿Puedo coger como ángulo que define las ecuaciones paramétricas de la circunferencia el ángulo $\theta$?

¿Está bien razonado? ¿Voy a buen puerto?

Un saludo y muchas gracias.

[skinner]

Re: Ejercicio de cinemática (I)

Descubrimiento de última hora

La longitud del hilo es $\ell =\pi R$. Considerando un nuevo ángulo $\varphi$, parametrizamos la circunferencia:

$\vec{r}(s)=(Rcos\frac{s}{R})\hat{\imath} + (Rsen\frac{s}{R})\hat{\jmath}$

Ahora veremos en qué punto nos encontraremos cuando $s=\ell$, es decir, cuando hayamos recorrido en la circunferencia una distancia igual a la longitud del cable:

$\vec{r}(\ell )=\vec{r}(\pi R)=(Rcos\pi )\hat{\imath} + (Rsen\pi)\hat{\jmath}=-R\hat{\imath}$

Lo que significa que la partícula yacerá sobre el punto -R (simétrico de A respecto del eje OY). Restamos los dos vectores $\vec{r}(\ell )$ y $\vec{r}(0)$:

$\Delta \vec{r}=\vec{r}(\ell )-\vec{r}(0)=-R\hat{\imath} -R(\hat{\imath} +\pi \hat{\jmath} ) = (-2R)\hat{\imath} -(R\pi )\hat{\jmath}$

$\Delta \vec{r} = -2R\hat{\imath} - (R\pi )\hat{\jmath}$

Duda 1: ¿Pero este vector tiene sentido?

Duda 2: ¿Cómo lo parametrizo en función del tiempo?

Un saludo! Y muchas gracias

[Al2000]

Re: Ejercicio de cinemática (I)

Si usas $\theta$ como parámetro, $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$, y observas que OCP es un triángulo rectángulo en C, te será fácil escribir $r_{(\theta )}$ y $\varphi _{(\theta )}$. Ahora no puedo mirar el problema completo. Ojalá esto te ayude.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Ejercicio de cinemática (I)

Te amplío un poco mas mi respuesta anterior, ahora que tuve posibilidad de ver el problema con algo mas de detenimiento.

Reconoce del enunciado que la partícula parte de una posición inicial en la cual la cuerda es tangente al círculo y que, por condición del problema, la cuerda se mantiene tensa y será tangente al círculo en el punto C. Dado que la longitud de la cuerda es $\pi R$, para un ángulo $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$ la longitud de cuerda sin enrollar será $\pi R - \theta R = R (\pi - \theta )$, como bien pusiste en tu primer mensaje.

Del triángulo OCP, que es rectángulo en C, se obtiene la posición de la partícula en coordenadas polares, en función del ángulo $\theta$:

$$<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> r_{(\theta )} &= \sqrt {R^2 + R^2 (\pi - \theta)^2} \\ \\<br /> \varphi _{(\theta )} &= \theta + \tan^{-1} \frac {R (\pi -\theta )} R <br /> \end{aligned}\right .<br /> \quad \Rightarrow \quad <br /> \boxed {\left \{\begin{aligned}<br /> r_{(\theta )} &= R \sqrt {1 + (\pi - \theta)^2} \\ \\<br /> \varphi _{(\theta )} &= \theta + \tan^{-1} (\pi -\theta ) <br /> \end{aligned}\right . }<br />$$

La trayectoria de la partícula se vería así:



Para hallar la dependencia de $\theta$ con respecto al tiempo tienes que usar la condición de velocidad que te dan. Con las coordenadas paramétricas anteriores se puede obtener la velocidad de la partícula:

$$<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> v_r &= \frac {dr}{dt} = \frac {dr}{d \theta }\frac {d \theta }{dt}\\ \\<br /> v_\varphi &= r \frac {d \varphi }{dt} = r \frac {d \varphi }{d \theta } \frac {d \theta }{dt}<br /> \end{aligned}\right .<br /> \quad \Rightarrow \quad <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> v_r &= - \frac {R (\pi - \theta )}{\sqrt {1 + (\pi - \theta )^2}} \frac {d \theta }{dt} \\ \\<br /> v_\varphi &= \frac {R (\pi - \theta )^2}{\sqrt {1 + (\pi - \theta )^2}} \frac {d \theta }{dt} <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

He omitido todos los pasos intermedios, que espero verificarás no vaya yo a haber metido la pata.

La velocidad en un instante cualquiera sería

$$\boldsymbol v = v_r \, \boldsymbol u_r + v_\varphi \, \boldsymbol u_\varphi \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt {v_r^2 + v_\varphi ^2} = v_0$$

Luego de sustituir valores y simplificar se obtiene:

$$R (\pi - \theta ) \frac {d \theta }{dt} = v_0 \quad \Rightarrow \quad R \left (\pi \theta - \frac 1 2 \theta ^2 \right ) = v_0 t$$

donde se ha impuesto la condición $\theta = 0$ para $t = 0$. Resolviendo la ecuación de segundo grado se tiene

$$\theta = \pi \pm \sqrt {\pi ^2 -2 \frac {v_0} R t}$$

En este caso el signo positivo no tiene validez pues $\theta$ debe aumentar con el avance de $t$. Entonces queda que

$$\boxed {\theta = \pi \left(1 - \sqrt {1 -\frac {2 v_0} {\pi ^2 R} t}\right)}$$

El tiempo necesario para que la particula enrolle toda la cuerda se consigue igualando la expresión anterior a $\pi$:

$$\boxed {t_\pi = \frac {\pi ^2 R}{2 v_0}}$$

Bueno, hasta aquí llegué. Saludos,

Al

[skinner]

Re: Ejercicio de cinemática (I)

Muchísimas gracias Al, te has currado mucho el mensaje... da la casualidad que hoy mi profe lo resolvió en la pizarra, y le salió lo mismo que a ti, pero él usó radio-vectores, de una forma bastante compleja. Y tengo una duda: mi profe llegó a la conclusión de que el vector tangente unitario es OPUESTO al vector velocidad: T = -v/|v(t)|

¿Por qué? También puso que la aceleración normal es OPUESTA a la velocidad... ¿por qué?

Un saludo, muchas gracias

[Al2000]

Re: Ejercicio de cinemática (I)

Mi indio bruto, mi no entender proferor gran_sabio_hombre_blanco...

[skinner]

Re: Ejercicio de cinemática (I)

jajaja... pero hombre Al2000, alguna razón debe haber