1r ciclo Problema Cinemática en coordenadas polares. !AYUDA!

[ejjjkar]

Una partícula sigue un movimiento plano de forma que su velocidad, en cada instante, forma un ángulo constante (alfa diferente de pi) con el vector posición. Determina la trayectoria en función de los valores del ángulo.
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Por más q lo intento, no sé si hallo lo que pide. Al final hallo una expresión que creo que se refiere a la trayectoria (seguramente eqivocada), pero tampoco sé darle una interpretación física...

Gracias de antemano

[Al2000]

Re: Problema Cinemática en coordenadas polares. !AYUDA!

Una partícula sigue un movimiento plano de forma que su velocidad, en cada instante, forma un ángulo constante (alfa diferente de pi) con el vector posición. Determina la trayectoria en función de los valores del ángulo.
...

A ver si esto te parece razonable... partiendo de las expresiones del vector posición y el vector velocidad en coordenadas polares

$\dst \boldsymbol r = r \boldsymbol u_r$

$\dst \boldsymbol v = \frac {dr}{dt} \boldsymbol u_r + r \frac {d \theta}{dt} \boldsymbol u_\theta$

tienes que el ángulo entre el vector velocidad y el vector posición será

$\dst \frac {|\boldsymbol v \times \boldsymbol r|}{\boldsymbol v \boldsymbol \cdot \boldsymbol r} = \tan \alpha$

Al sustituir $\boldsymbol v$ y $\boldsymbol r$ queda, luego de simplificar

$\dst r \frac {d \theta }{dr} = \tan \alpha$

la cual puedes integrar para obtener la ecuación de la trayectoria que será una espiral exponencial, no se si recibirá un nombre especial.

Saludos,

Al

[ejjjkar]

Re: Problema Cinemática en coordenadas polares. !AYUDA!

Al final, al integrar obtengo:

r=e^(theta * cotangente (alfa))

es eso una espiral?
no se tiene en cuenta la constante de integración?



Gracias

[Al2000]

Re: Problema Cinemática en coordenadas polares. !AYUDA!

Si, es una espiral. Puedes escribirla como $\dst r = \ee ^{k \theta}\,,\,\, k = \cot \alpha$. Y si, para ser mas general, tendrías que incluir una constante de integración que vendría a ser el radio inicial. Quedaría algo como $\dst r = r_0 \,\ee ^{k \theta}$.

Saludos,

Al

[ejjjkar]

Re: Problema Cinemática en coordenadas polares. !AYUDA!

Okay muchas gracias otra vez.

[Carlos Revete]

Re: Problema Cinemática en coordenadas polares. !AYUDA!

Hola

Buenas noches Al, disculpa la molestia pero si ahi algo que no entiendo del curso de algebra lineal en la universidad es eso mismo que haces con el producto exterior e interior para obtener el angulo, seria mucha molestia que me explicaras cual es la relacion de esos productos vectoriales para calcular por ejemplo ese angulo en este caso? Segun el problema que plantaron aqui la cuestion es el angulo entre el vector pocision y la velocidad tangencial no? No habria una forma mas simple de calcularlo?

Saludos, espero tu respuesta.

[Al2000]

Re: Problema Cinemática en coordenadas polares. !AYUDA!

Tan sólo apliqué las definiciones de los dos productos, $\dst \boldsymbol A \boldsymbol \cdot \boldsymbol B = A B \cos \alpha\,,\,\,\, |\boldsymbol A \times \boldsymbol B| = A B \, \mathrm {sen} \, \alpha$. Si hay una forma mas sencilla, sería grato aprenderla.

Saludos,

Al