1r ciclo osciladores acoplados

[[Beto]]

Hola, tengo dos ejercicios los cuales no se plantearlos bien, ya que tengo que usar solamente la segunda ley de newton para obtener la ecuación de movimiento

El primero consiste en tres masas como se muestra en la figura, donde su centro de masa es sometido a una fuerza dada por $F=F_o\sin(\omega t)$.

piden determinar la amplitud de respuesta del estado estacionario de la primera masa del sistema.

Que este aplicada al centro de masa ¿significa que debo de igualar a cada ecuación de movimiento de cada carrito a esa fuerza?, pues entonces tendría algo así:

$<br /> \begin{aligned}<br /> m\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}&=k(x_2-x_1)-kx_1+F_o\sin(\omega t)\\<br /> m\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}&=k(x_3-x_2)-k(x_2-x_1)+F_o\sin(\omega t)\\<br /> m\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}&=-kx_3-k(x_3-x_2)+F_o\sin(\omega t)<br /> \end{aligned}<br />$

En este quisiera que me ayudaran a plantear las ecuaciones de movimiento tomando en cuenta esa fuerza $F$ aplicada en el centro de masa (en caso de que yo no lo haya planteado bien) y además que condiciones de frontera y estados iniciales debería de tomar en cuenta para determinar lo que me piden.

El segundo ejercicio es un sistema como se muestra en la figura:

y me piden determinar las frecuencias de oscilación del sistema.

Mi problema radica en que no puedo plantear adecuadamente las ecuaciones de movimiento del carro grande y del que esta en la parte superior, pues he elegido como sistema de referencia la esquina de la pared con el piso. Además de ello ¿qué condiciones de iniciales debería de considerar?

Si alguien tiene paciencia y tiempo y me plantea las ecuaciones en forma matricial seria de ayuda, si no con una idea de como hacerlo bastaría.

Gracias de antemano.

[GNzcuber]

Re: osciladores acoplados

Hola,

Siento reabrir un post viejo, pero es un problema interesante y me gustaría saber cómo se resuelve.

Del primer dibujo yo plantearía el siguinte sistema de ecuaciones:

$\displaystyle \left.\begin{aligned}m\frac{{d}^2x_1}{{d}t^2}=-kx_1-k(x_1-x_2)\\ m\frac{{d}^2x_2}{{d}t^2}=k(x_1-x_2)-k(x_2-x_3)+F_0\sin(\omega t)\\ m\frac{{d}^2x_3}{{d}t^2}=k(x_2-x_3)-kx_3\end{aligned}\right\}\Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{aligned}m\omega^2x_1-2kx_1+kx_2=0\\ m\omega^2x_2+kx_1-2kx_2+kx_3=-F_0\sin(\omega t)\\ m\omega^2x_3+kx_2-2kx_3=0\end{aligned}\right.$

Como las tres masas son iguales, y suponiendo que en principio la longitud natural de los muelles es la misma e igual a la distancia entre las masas en reposo, el centro de masas, donde se aplica la fuerza es la masa central.

Sin embargo no podría plantear la matriz para obtener la ecuación característica, ya que no sé qué hacer con esa fuerza

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Para el segundo sistema, plantearé como x_1 la masa de arriba, x_2 la masa de abajo, y x_3 la masa del bloque grande:

$$\displaystyle \left.\begin{aligned} m\frac{{d}^2x_1}{{d}t^2}=k(x_3-x_1)\\ m\frac{{d}^2x_2}{{d}t^2}=k(x_3-x_2)-kx_2\\ \frac{{d}^2x_3}{{d}t^2}=-k(x_3-x_1)-k(x_3-x_2)\end{aligned}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{aligned} m\omega^2x_1-kx_1+kx_3=0\\ m\omega^2x_2-2kx_2+kx_3=0\\ m\omega^2x_3+kx_1+kx_2-2kx_3=0\end{aligned}\right.$$

$$\displaystyle \left|\begin{matrix}m\omega^2-k & 0 & k \\ 0 & m\omega^2-2k & k \\ k & k & m\omega^2-2k\end{matrix}\right|=0$$

$$\displaystyle \begin{matrix}( m\omega^2-k)(m\omega^2-2k)^2-k^2(m\omega^2-2k)-k^2(m\omega^2-k)= \\ {} \\ = (m\omega^2)^3-5k(m\omega^2)^2+6k^2(m\omega^2)-k^3=0 \end{matrix}$$

Pero ya no puedo resolver esta ecuación, ya que es de tercer grado. He probado $\displaystyle m\omega^2=k\rightarrow (3)=k^3, \quad m\omega^2=-k\rightarrow (3)=-13k^3$.

¡Saludos!