Secundaria Duda sobre un enunciado

[hennin]

En un problema de gravitación, me dicen que tenemos un satélite de masa m en la superficie terrestre. Éste es enviado a una altura h. Me piden cuál es la energía necesaria que se debe aplicar al satélite para que orbite alrededor de la Tierra. (mi duda es la siguiente: ¿es lo mismo la energía que se debe aplicar al satélite para ponerlo en órbita que su energía mecánica de traslación?)

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Re: Duda sobre un enunciado

Hola!
La verdad es que nunca había oído lo de la energía mecánica de traslación...bueno, veré si puede ayudarte. Me imagino que la órbita que sigue el satélite es casi circular, ya que los planetas y la mayoría de los satélites tienen excentricidades bajas, de modo que en algunos casos las órbitas son casi circulares.
Así que, el satélite de masa m describe una órbita circular a una distancia r del centro terrestre, es decir, $r=r_T + h$ y dado que m << $m_T$ la energía potencial en consecuencia será:

$E_p = - G \frac {m_{T}m} {r}$. Si la órbita es circular, la fuerza gravitatoria es, además centrípeta, por lo que al igualar las dos fuerzas:

$G \frac {m_{T}m} {r}= \frac {mv^2}{r}$, de donde se obtiene que la energía cinética es (sutituyendo el valor de la velocidad)

$E_c= \frac {1}{2} \cdot mv^2= G \frac {m_{T}m} {2r}$, por lo que la energía mecánica será la suma de las energías cinética y potencial:

$E_m=E_c + E_p =-G \frac {m_{T}m} {2r}$. Esa será la energía necesaria para que orbite alrededor de la Tierra (este caso también es extensible a las órbitas elípticas, creo).

Espero poder ayudarte.
Saludos!

[Al2000]

Re: Duda sobre un enunciado

Disculpa, esa sería la energía necesaria si estuvieses trayendo el satélite desde una distancia infinitamente grande hasta ponerlo en la órbita. Tienes que restar la energía del satélite cuando está "en reposo" en la superficie de Tierra. En ese caso la energía mecánica inicial, repitiendo tus mismas cuentas, sería $\dst E_{m0} = - G \frac {m_T m}{2 r_T}$ y el cambio de energía sería $\dst \Delta E_m = - \frac 1 2 G m_T m \left(\frac 1 r - \frac 1 {r_T}\right) = \frac 1 2 G m_T m \frac h {(r_T+h)r_T}$, que en una aproximación de primer orden se podría escribir $\dst \Delta E_m \approx \frac 1 2 G m_T m \frac h {r_T^2} = \frac 1 2 m g h$, siendo $g$ la aceleración de gravedad en la superficie de Tierra.

Saludos,

Al

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Re: Duda sobre un enunciado

Sí, lo siento, tienes razón, se me olvidó mencionar que la energía total o energía de enlace de un satélite es siempre negativa y coincide con la mitad de su energía potencial como has especificado tú.

$\dst E_m=E_c + E_p =-G \frac {m_{T}m} {2r} = \frac {1}{2} E_p < 0$