Otras carreras Campo gravitacional

[Pulley]

Cómo se demuestra que el campo gravitacional es irrotacional?

Es decir, consideremos un cuerpo con su campo gravitacional situado en un eje de coordenadas y que apunta en una cierta dirección. Si se rotan los ejes, el campo sigue apuntando en la misma dirección.

Cómo se demuestra esto?

[Metaleer]

Re: Campo gravitacional

La demostración tiene dos partes:

1) Coges la ley de Gravitación Universal para una masa puntual, calculas su rotacional y ves que es nulo.

2) Invocas el Principio de Superposición que te permite calcular el campo gravitatorio para cualquier distribución de masas apartir de un número finito (sistema discreto) y o un número infinito (sistema continuo) de masas puntuales, y tomas rotacionales ahí. La linealidad del operador rotacional te permite decir que

$$\nabla \times \mathbf{g} = \nabla \times (\mathbf{g}_1 + \mathbf{g}_2 + \ldots) = \nabla \times \mathbf{g}_1 + \nabla \times \mathbf{g}_2 + \ldots = 0 + 0 + \ldots = 0$$

y con esto se ha demostrado el carácter irrotacional del campo gravitatorio $\mathbf{g}$.

Saludos.

[Pulley]

Re: Campo gravitacional

Hola, gracias por tu respuesta.

1) Coges la ley de Gravitación Universal para una masa puntual, calculas su rotacional y ves que es nulo.

No me acuerdo del rotacional, cuál era? Cómo lo aplicas para hacer lo que dices?

Gracias!

[Metaleer]

Re: Campo gravitacional

El asunto es bien sencillo.

La ley de la Gravitación Universal de Newton para una masa puntual $m$ es

$$\mathbf{g} = - G\frac{m}{r^2}\boldsymbol{\hat r}$$

Esta expresión vectorial, como puedes ver, está en coordenadas esféricas. Por tanto, si queremos su rotacional, lo suyo es calcularlo en este sistema. El rotacional de un campo vectorial $\mathbf{g}$ dado en coordenadas esféricas es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Como $g_\phi = g_\theta = 0$ y $g_r$ sólo es función de $r$, el rotacional de antes es .

También puedes pasar la expresión (1) a coordenadas cartesianas y usar la expresión más sencilla determinada por el determinante que seguramente conocerás. Verás que por este camino, también debe dar cero.

Saludos.