1r ciclo Problemas elementales de mecánica.

[GNzcuber]

Hola a todos,

Tengo dos problemas de Mecánica, que en principio no parecen difíciles pero no sé cómo enfocarlos para llegar a la solución.

1. Un bloque de masa M en un plano inclinado con un ángulo $\theta$, está atado de una cuerda inextensible y de masa despreciable, a otro bloque de masa m que pende de la cuerda al pasar por una polea de radio R y masa $\dst M_p$, que se encuentra en la parte superior del plano inclinado.
Si el coeficiente de rozamiento estático es $\dst \mu_s$, y el coeficiente de rozamiento cinético es $\dst \mu_k < \mu_s$.

i) Hallar el rango de masas para m (el bloque que pende de la cuerda) para los cuales el sistema está en equilibrio estático y en ser perturbado por un golpe, el bloque M deslice hacia abajo por el plano inclinado.

ii) Hallar el rango de masas para m, para los cuales el sistema está en equilibrio estático y en ser perturbado por un golpe, el bloque M deslice hacia arriba por el plano inclinado.



El problema lo tengo en considerar el rango, ya que debe cumplir (en el apartado (i)):

$$\dst \left\{ \begin{aligned} Mg \sin(\theta)-\mu_s Mg\cos(\theta)-T_1=0\\ T_2-mg=0\\ R(T_1-T_2)=0\end{aligned}\right\} \Rightarrow M[\sin(\theta)-\mu_s\cos(\theta)]=m$$

En el caso estático, y cuando es perturbado:

$$\dst \left\{ \begin{aligned} Mg\sin(\theta)-\mu_k Mg\cos(\theta) > T_1\\ T_2-mg=ma\\ R(T_1-T_2)=\frac{1}{2}M_p R^2 \cdot \alpha\\ a=R\cdot\alpha \end{aligned}\right\}\Rightarrow Mg[\sin(\theta)-\mu_k \cos(\theta)]>m(g+a)+\frac{1}{2}M_p a$$

Sin embargo aquí no hay rango, uno de ellos me dice que es un valor exacto, ya que es la condición que impuse, condición estática. Y el otro para ciertos valores mayores a algo.

2. La polea de una máquina de Atwood se encuentra sometida a una aceleración $\dst \vec{a}$, vertical y hacia arriba, si a cada extremo de la polea, de momento de inercia I, y radio R, tenemos atadas una masa $\dst m_1$ y $\dst m_2$, hallar la aceleración de cada masa y la tensión de la cuerda que las une.



Si consideramos $\dst m_1>m_2$, al acelerar de esta forma la máquina de Atwood tendremos que el momento ejercido por las tensiones de las cuerdas será mayor para uno que para el otro:

$$\dst m_1>m_2 \Leftrightarrow \tau_1=r \cdot m_1 \cdot a>r \cdot m_2 \cdot a=\tau_2$$

Por lo tanto:

$$\dst \left.\begin{aligned} m_1 g-T_1 =m_1 a\\ T_2 - m_2 g = m_2 a \end{aligned}\right\} \Rightarrow \left.\begin{aligned}(m_1-m_2)g-(T_1-T_2)=(m_1+m_2)a \\ R(T_1-T_2)=I\cdot\alpha\\ a=R\cdot \alpha\end{aligned}\right\} a=g\frac{\dst m_1-m_2}{\dst \frac{I}{R^2}+m_1+m_2}$$

Y las tensiones son por lo tanto:

$$\dst T_1=m_1(g-a)=m_1 g \left(\frac{\dst \frac{I}{R^2}-2m_2}{\dst \frac{I}{R^2}+m_1+m_2}\right)$$

$$\dst T_2=m_2(g+a)=m_2 g\left(\frac{\dst \frac{I}{R^2}+2m_1}{\dst \frac{I}{R^2}+m_1+m_2}\right)$$

En este ejercicio la pregunta es ¿Cómo puedo introducir la aceleración de la polea en este sistema? Sé que a ambas les he llamado "a", pero no son la misma :P.

¡Gracias y saludos!