Otras carreras Ayuda ejercicio de cinematica

[Mikel33]

Hola, soy nuevo en el foro.
Tengo un ejercicio que no se como resolverlo a ver si alguien me ayuda. El ejercicio es el siguiente:

La aceleracion de una particula se define mediante la relacion a = -10v, donde a se expresa en m/s^2 y v en m/s. Sabiendo que para t = 0 la velocidad es de 30 m/s, determinar a) La distancia que recorre la particula antes de pararse, b) El tiempo que tarda la particula en pararse, c) el tiempo necesario para que la velocidad de la particula se reduzca el 1 por 100 de su valor inicial.
Soluciones: a)3m, b)\infty, c)t = 10^-3s

Gracias.

[nac]

Re: Ayuda ejercicio de cinematica

La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, por lo que en la ecuación del problema, donde pone a sustituyes por dv/dt, e integras la ecuación que te queda. Te va a dar que t es igual al logaritmo de v más una constante, que la resuelves fácilmente usando la condición que te dan de que para t=0, la velocidad es 30m/s.

El tiempo que tarda en pararse, será cuando la velocidad es cero. La ecuación de la velocidad es una exponencial negativa, de modo que tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito.

Para la última cuestión, usa la ecuación obtenida de la velocidad para dos tiempos t1 y t2. Divide las ecuaciones, y sabes que v(t1) dividido v(t2) es igual a un 1%, es decir, 0.01. Sólo te falta despejar t2, poniendo t1=0 (supongo que empiezas a contar el tiempo desde t1, con el 100% de la velocidad, hasta t2, cuando la velocidad ha caído al 1%).

[Mikel33]

Re: Ayuda ejercicio de cinematica

Gracias, pero tengo una duda. Esque acabo de empezar con esto de las integrales y ando verde.
Sustituyo a por dv/dt no?
queda esto: dv/dt = -10v
despejamos dt?
dv/-10v=dt
y si integramos me queda -v^2/20 = t
En que hago el error?

[GNzcuber]

Re: Ayuda ejercicio de cinematica

Hola Mikel33,

Haré lo que te ha dicho nac:

$$\displaystyle \frac{{d}v}{{d}t}=a=-10v \Leftrightarrow \int \frac{{d}v}{v}=-10 \int {d}t \Leftrightarrow \ln(v)=-10t+C \Leftrightarrow v=e^{-10t+C}=e^C\cdot e^{-10t}$$

Donde $\dst e^{C}=C$ (en general la igualdad anterior no es cierta, pero es sólo una constante de integración y a todo el conjunto le llamo "C") que la podemos determinar con las condiciones iniciales:

$$\displaystyle v(0)=30=C\cdot e^{-10\cdot 0}=C\Rightarrow v=30\cdot e^{-10t}$$

Para hallar la distanica:

$$\displaystyle \frac{{d}x}{{d}t}=v \Leftrightarrow \int {d}x=\int v{d}t=30\int e^{-10t}{d}t \Leftrightarrow x=-3\cdot e^{-10t}+D$$

Para hallar la nueva constante de integración se ponen las condiciones iniciales, que en este caso no hay :P, podemos considerar que en t=0 está en el origen, así:

$$\displaystyle x(0)=0=-3\cdot e^{-10\cdot 0}+D=-3+D\Leftrightarrow D=3\Rightarrow x(t)=-3\cdot e^{-10t}+3$$

Ahora lo que quieres saber es la distancia que recorre antes de pararse.

Lo que dice nac es lo siguiente:

$$\displaystyle \left.\begin{aligned}v=0\rightarrow \\ v=30e^{-10t}\end{aligned}\right\} \Rightarrow t=-\frac{1}{10}\ln\left(\frac{v}{30}\right)\Rightarrow t=-\frac{1}{10}\lim_{v\to 0}\ln\left(\frac{v}{10}\right)=-\frac{1}{10}(-\infty)=\infty$$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
He pensado en otra manera que se podría hacer es usando la regla de la cadena:

$$\displaystyle a=\frac{{d}v}{{d}t}=\frac{{d}v}{{d}x}\frac{{d}x}{{d}t}=v\frac{{d}v}{{d}x}\Leftrightarrow \int_0^x {d}x'=\int_{v_0}^0 \frac{v}{-10v}{d}v \Leftrightarrow x=\frac{v_0}{10}=3m$$

Sin embargo no sale, ¿Cuál es el error aquí?
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Por último lo que quieres averiguar es el tiempo para que $\dst v=\frac{v_0}{100}$, sólo debes sustituir en (2) y despejar t:

$$\displaystyle \frac{v_0}{100}=v_0\cdot e^{-10t}\Leftrightarrow t=-\frac{1}{10}\ln\left(\frac{1}{100}\right)$$

¡Saludos!

[Mikel33]

Re: Ayuda ejercicio de cinematica

Gracias, esque acabo de empezar con todo esto y me resulta dificil, pero una vez visto, no parece para tanto.

[Mikel33]

Re: Ayuda ejercicio de cinematica

Esto, hola otra vez. Ya me quedo claro el ejercicio pero he visto esto en un cuaderno y no se poque es asi a ver si alguien consigue explicarmelo.

a = -10v
x = x0 - 3((e^-10t)-1)
y de ahi si t = $\infty$ entonces queda x = 0 - 3(0-1) = 3m.
pero no se como se llega hasta esa ecuacion.
Gracias.

[Al2000]

Re: Ayuda ejercicio de cinematica

...
Sin embargo no sale, ¿Cuál es el error aquí?
...

No hay ningún error. ¿Qué te pareció incorrecto? Ya que $v = 30 \ee ^{-10 t}$, entonces se tiene que $v \to 0$ cuando $t \to \infty$. Luego, como $x = x_0 + 3 \left(1 - \ee ^{-10 t}\right)$, se encuentra que $\Delta x \to 3\,\mathrm{m}$ cuando $t \to \infty$. Yo veo que todo cuadra...

Saludos,

Al

[Mikel33]

Re: Ayuda ejercicio de cinematica

pues la formula $x = x_0 + 3 \left(1 - \ee ^{-10 t}\right)$ que no se de donde sale. Cual es la formula general.
Ejemplo:
x = x +v0t + 1/2at²

[Al2000]

Re: Ayuda ejercicio de cinematica

pues la formula $x = x_0 + 3 \left(1 - \ee ^{-10 t}\right)$ que no se de donde sale. Cual es la formula general.
Ejemplo:
x = x +v0t + 1/2at²

Pues parece que no te leíste el mensaje de GNzcuber. Allí está desarrollado, quizá con la única salvedad que el asumió que $x_0 = 0$.

Saludos,

Al

[Mikel33]

Re: Ayuda ejercicio de cinematica

Vale...
Si que me he mirado lo de GNzcuber pero me liaba porque pensaba que esa ecuacion venia de alguna forma general como la que he puesto antes de x.
Gracias y perodon por mi error.

[Mikel33]

Re: Ayuda ejercicio de cinematica

Bueno basandome en el ejercicio anterior he intentado hacer el siguiente pero no me ha salido.
Ejercicio:

Se ha establecido experimentalmente que el valor absoluto en m/s² de la deceleracion de un proyectil, deriba a la resistencia del aire, es 0,0033v², donde v se expresa en m/s. Si el proyectil se abandona partiendo del reposo y se mantiene apuntando hacia abajo, determinar su velocidad tras haber caido 150m. (Sol.: v = 43,2m/s)

Esto es lo que he hecho yo:

a = 0,0033v²
dv/dt = 0,0033v²
dv/v² = 0,0033dt
-1/v = 0,0033t
v = -1/0,0033t

dx/dt = -1/0,0033t
x = (-1/0,0033) * ln(t)
x = 150 t = ?
150 = (-1/0,0033) * ln(t)
150/(-1/0,0033) = ln(t)
-150 * 0,0033 = ln(t)
e^-0,495 = t
t = 0,6096

v = -1/(0,0033*0,6096)
v = -1/0,002011548
v = -497,120678502m/s

Alguien me explica mi error?
Gracias

[Al2000]

Re: Ayuda ejercicio de cinematica

Marca lo que escribiste, cópialo y pégalo en un nuevo hilo. Es política de este foro que se trate una pregunta por hilo.

Saludos,

Al