Primaria Sistema mecanico con rozamiento - Dificultades con Demostración

[M_Odes]

Considere un sistema mecánico, en el cual un bloque de masa m sobre una supercie rugosa con coeciente de fricción $\mu$, está sujeto a la pared mediante un resorte de constante elástica $\kappa$, a la vez que experimenta una fuerza horizontal variable en el tiempo $f_{s}(t)$.Llegue a la Ecuación de la forma

$$\frac{\mathrm{d}^{2} f_{\kappa}}{\mathrm{d}t^{2} } + \frac{\mu}{m} \frac{\mathrm{d} f_{\kappa}}{\mathrm{d}t } + \frac{\kappa}{m}f_{\kappa}(x)=\frac{\kappa}{m}f_{s}(t)$$

Con $f_{\kappa} = \kappa x$ la ley de Hooke.

Naturalmente lo que hize fue plantear la ley de Newton tomando la dirección creciente de x como la positiva.
la Fricción está presente así que para la componente y
$\dst \sum \vec{F}_{y}=0; \qquad mg=N$ y la fuerza de fricción es pues [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
En la dirección $x$ obtengo la ecuación diferencial
$\dst m \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} =\dst -f_f -f_\kappa + f_s(t)$ que se convierte en

$$m \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \kappa x + \mu m g = f_s(t)$$

si multiplico la ecuación por $\dst \frac{\kappa}{m}$

$$\kappa \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\kappa}{m} (\kappa x) + \mu \kappa g = \frac{\kappa}{m}f_s(t)$$

y como el operador diferencial es lineal puedo colocar las constantes $\kappa$ dentro del operador de suerte que obtengo

$$\frac{\mathrm{d}^2(\kappa x)}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\kappa}{m}(\kappa x) + \mu \kappa g = \frac{\kappa}{m}f_s(t)$$

y de la definición de la ley de Hooke que teníamos $f_{\kappa} = \kappa x$ al EDO se convierte en

$$\frac{\mathrm{d}^2 (f_{\kappa})}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\kappa}{m}(f_{\kappa}) + \mu \kappa g = \frac{\kappa}{m}f_s(t)$$

no sé que término ha hecho falta considerar, o que operación me pasé por alto y si comparo ambas ecuaciones bajo el supuesto que son iguales implicaría
$\dst \frac{\mu}{m} \frac{\mathrm{d} f_{\kappa}}{\mathrm{d}t } = \mu \kappa g$ pero esto me llevaría a decir cosas como

$\dst \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = mg$

alguna sugerencia? muchas gracias por su ayuda

[Al2000]

Re: Sistema mecanico con rozamiento - Dificultades con Demostración

La ecuación (1) no es dimensionalmente correcta, el segundo sumando no tiene dimensiones [M][L]/[T^4].

Saludos,

Al

[M_Odes]

Re: Sistema mecanico con rozamiento - Dificultades con Demostración

La ecuación (1) no es dimensionalmente correcta, el segundo sumando no tiene dimensiones [M][L]/[T^4].

Saludos,

Al

Vaya... hace unos días hablaba con unos compañeros respecto lo importante que es verificar dimensionalmente los resultado y que es una de las herramientas más poderozas que tenemos para detectar errores.
Muchas Gracias por recordarmelo

[Al2000]

Re: Sistema mecanico con rozamiento - Dificultades con Demostración

lol you're welcome!

[M_Odes]

Re: Sistema mecanico con rozamiento - Dificultades con Demostración

El enunciado está bien, solo que tiene un truco, $\mu$ no es rozamiento por fricción con superfices, sino que es el coeficiente para el rozamiento por velocidad de modo que en el análisis anterior,

$$f_{f}=\mu \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$$

, de este modo al multiplicar por $\dst \frac{\kappa}{m}$ obtengo el resultado deseado

$$\frac{\mu}{m} \frac{\mathrm{d} f_{k}}{\mathrm{d}t}$$

y es dimensionalmente correcto.
Saludos!