Otras carreras movimiento parabolico: problema..

[katicyrus]

hola primero que todo soy nueva aqui espero que m saquen de una gran duda
que tengo en este momento
y es este

y este es el problema que me mandan a resolver:
Un joven patea un balón desde el tope de un domo semiesférico tal como se muestra en la figura. (a) Determine la velocidad inicial mínima tal que el balón no no vuelva a tocar la superficie del domo. (b) Determine la distancia x a la cual caerá el balón.

alguien sabe como explicar esto.. como resolverlo??
mil gracias al que me pueda ayudar

[Al2000]

Re: movimiento parabolico: problema..

Intenta esto. Pon tu origen en el centro del domo. Escribe las ecuaciones x(t), y(t) del balón e impón la condición que la distancia al origen de coordenadas debe ser siempre mayor que R. Puedes poner esta condición diciendo que x^2 + y^2 > R^2. Inténtalo y si tienes mas dudas vuelve a preguntar.

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: movimiento parabolico: problema..

Hola:

La trayectoria de caida del balón es:

$$y=R-\dst\frac{g}{2v_0^2}x^2$$

La ecucación para la circunferencia es:

$$x^2+y^2=R^2$$

Si la pelota no vuelve a tocar el domo quiere decir que la única solución para este sistema es $x=0$
Operando

$$R^2+\left(\dst\frac{g}{2v_0^2}\right)^2x^4-\dst\frac{Rg}{v_0^2}x^2=R^2-x^2$$

$$\left(\dst\frac{g}{2v_0^2}\right)^2x^2=\dst\frac{Rg}{v_0^2}-1$$

Donde este sistema no tiene solución si $v_0>\sqrt{Rg}$, por lo tanto $v_{0,\text{min}}=\sqrt{Rg}$

Para encontrar la distancia $x'$ solicitada es necesario hacer $y = 0$ en la ecuación de la trayectoria encontrar $x$, tomando como $v_0$ la velocidad calculada anteriormente. Hay que tener en cuenta que $x'=x-R$

Saludos
Carmelo

[javier m]

Re: movimiento parabolico: problema..

Este problema me puso a pensar en varias cosas, la primera, hacer $y=0$ y $x=R$, pero al ver el dibujo y la 2da pregunta me di cuenta que eso no era posible, que antes de llegar a esas coordenadas ya habria chocado con el semicírculo

la que dijo Al, hacer$x^2+y^3>R^2$, y para la velocidad minima sería $x^2+y^2=R^2$, hizo algunos despejes y tales, pero no estaba seguro asi que abandoné ese metodo

pensé hasta en las pendientes de las cosas esas, haber si tenian alguna relación o algo así

y por el ultimo pensé en el problema ese, en en que un objeto cae por una circunferencia y pedian a que altura se desprendia de ella. así hice esto:

$mg-N=m\dfrac{v^2}R$, hice N=0.

me quedé con la incertidumbre,de que despues de desprenderse el balón de la circunferencia volviera a chocar pero

$mg=m\dfrac{v^2}R$

$v=\dst\sqrt{gR}$

me dio lo que era

[Al2000]

Re: movimiento parabolico: problema..

...
la que dijo Al, hacer$x^2+y^3>R^2$, y para la velocidad minima sería $x^2+y^2=R^2$, hizo algunos despejes y tales, pero no estaba seguro asi que abandoné ese metodo
...

La cosa va mas o menos así. Partiendo de las conocidas ecuaciones de movimiento

$$x = v_0 t\,, \quad y = R - \frac 1 2 g t^2$$

Impones la restricción $\dst x^2 + y^2 > R^2$:

$$v_0^2 t^2 + R^2 - R g t^2 + \frac 1 4 g^2 t^4 > R^2$$

Cancelas $R^2$ y sacas factor común $t^2$:

$$\left(v_0^2 - R g + \frac 1 4 g^2 t^2 \right) t^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad v_0^2 - R g + \frac 1 4 g^2 t^2 > 0$$

Y para que esta última expresión sea positiva para cualquier valor de $t$ debe cumplirse que

$$v_0^2 - R g > 0 \quad \Rightarrow \quad \boxed {v_0 > \sqrt {R g}}$$

Debo apuntar que me gusta mas la solución de carmelo, que resulta además mas útil porque permite responder la segunda pregunta mas fácilmente. Esa fue mi primera opción pero me decanté por esta para no introducir mas sustancia en mi sugerencia a katicyrus.

Saludos,

Al

[carmelo]

Re: movimiento parabolico: problema..

pensé hasta en las pendientes de las cosas esas, haber si tenian alguna relación o algo así

La pendiente en $x=0$ es igual para la circunferencia y para la parabola, pero eso no te va a otorgar mayores satifacciones.
En cambio si te querés divertir, podés calcular la curvatura para la parábola y para la circunferencia en $x=0$ la igualas y contame lo que obtienes.

Te recuerdo que la curvatura está definida como $C=\dst\frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{3/2}}$

Saludos
Carmelo

[javier m]

Re: movimiento parabolico: problema..

si ni siquiera sé que es una curva en matematicas

[carmelo]

Re: movimiento parabolico: problema..

Hola:

Bueno lo voy a exponer yo entonces.
Calculemos la curvatura para la circunferencia:
Su representación como ya se dijo es:

$$y=\sqrt{R^2-x^2}$$

Su derivada primera:

$$y^\prime=-\dst\frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}$$

Su derivada segunda:

$$y^{\prime\prime}=-\dst\frac{R^2}{(R^2-x^2)^{3/2}}$$

Con lo que la curvatura para la circunferencia es:

$$C=\dst\frac1R$$

Ahora calculemos la curvatura para la parabola:

La ecuación de la trayectoria es:

$$y=R-\dst\frac{g}{2v_0^2}x^2$$

Su derivada primera:

$$y^\prime=-\dst\frac g{v_0^2} x$$

Su derivada segunda:

$$y^{\prime\prime}=-\dst\frac g{v_0^2}$$

Con lo que la expresión de la curvatura de la parabola es:

$$C=\dst\frac{g}{v_0^2\left[1+\left(\dst\frac{g}{v_0^2}\right)^2x^2\right]^{3/2}}$$

A nosotros nos interesa el valor de la curvatura en $x=0$ por lo tanto

$$C=\dst\frac g {v_0^2}$$

Igualando las curvaturas llegamos a:

$$\dst\frac1R=\dst\frac g {v_0^2}$$

o

$$v_0=\sqrt{gR}$$

Saludos
Carmelo

[Jose D. Escobedo]

Re: movimiento parabolico: problema..

Este problema fue resuelto anteriormente en la web, pero tengo pereza buscarlo, es mas no recuerdo el nombre del hilo

La ecuacion de la circunferencia se puede aproximar por la expansion binomial o la expansion de Taylor (en x=0), por que $\dst \frac{x^2}{ R^2}\ll 1$ o $x \approx 0$

$\dst y= \sqrt{R^2 -x^2} = R\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2 } }\Rightarrow$

$\dst y\approx R(1-\frac{1}{2 }\frac{ x^2}{R^2 } - \frac{1}{8 }\frac{x^4}{ R^4}-....$

de donde la aproximacion parabolica es $\dst y\approx R-\frac{x^2}{2R }$

que al compararlo con el movimiento parabolico del balon $\dst y=R-\frac{gx^2}{ 2v_o^2}$ resulta que: $\dst v_o \approx \sqrt{gR}$ como ya se ha mencionado

saludos