Otras carreras Problema de oscilador amortiguado

[Pablo5]

Hola muy buenas,¿Podría alguien decirme como resolver el siguiente problema?,a la solución numérica final no le echo demasiada importancia,lo que me interesa es el proceso, pero si la tenéis y me la podéis facilitar mejor:

Un bloque suspendido de un muelle se pone a oscilar con una amplitud inicial de 120 mm.
Después de 2'4 minutos la amplitud ha disminuido hasta 60 mm. a) ¿Cuándo será la amplitud igual a 30 mm? b) Determinar el valor de \gamma (coeficiente de amortiguamiento) para este movimiento

Hasta ahora lo único que he hecho ha sido sacar el tiempo para el apartado a) de una manera un poco simple que a pesar de estar basada en una regla de 3, me parece que es coherente como resultado, me sale 3'6 minutos.

Gracias de antemano

[Raul]

Re: Problema de oscilador amortiguado

No creo que el resultado sea el correcto, el problema hay que plantearlo del siguiente modo:

$F = m.\frac{\mathrm{{d}^{2 } } x}{\mathrm{d}{t}^{2 }} = -kx -\rho \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$

Como ves es una ecuación de segundo orden de una sola variable x(t), prueba a resolverla y trata de imponer las condiciones que te dan en el enunciado, si ves que no te sale avisa y desarrollo mas (yo o cualquier otro que sepa).

Un saludo.

[polonio]

Re: Problema de oscilador amortiguado

La ecuación diferencial es de la forma (como te han dicho antes):

$$\dst m\frac{\dd ^2 x}{\dd t}+\rho\frac{\dd x}{\dd t}+k x=0$$

$$\dst \frac{\dd ^2 x}{\dd t}+\gamma \frac{\dd x}{\dd t}+\omega _0 ^2 x=0$$

donde: $\dst \omega _0 ^2=\frac{k}{m}$ y $\dst \gamma = \frac{\rho}{m}$.

La solución de esta ecuación es de la forma:

$$\dst x(t)=\ee ^{- \frac{\gamma}{2}t}\left[ C_1 \cos(\omega_a t)+C_2 \sin(\omega_a t) \right]$$

donde la frecuencia del movimiento amortiguado es $\dst \omega_a=\sqrt{\omega_0 ^2-\frac{\gamma ^2}{4}}$

A ver si con esto ya puedes meterle mano al problema...

[Al2000]

Re: Problema de oscilador amortiguado

...
Hasta ahora lo único que he hecho ha sido sacar el tiempo para el apartado a) de una manera un poco simple que a pesar de estar basada en una regla de 3, me parece que es coherente como resultado, me sale 3'6 minutos.
...

La solución ya te la han indicado Raul y polonio. Yo sólo quería hacerte un comentario respecto a aplicar indiscriminadamente la regla de tres.

Aunque sea muy tentador debido a su simplicidad, no siempre puedes aplicar la regla de tres. Para poder hacerlo, la relación entre las variables implicadas debe ser proporcional, y no es el caso aquí.

La amplitud de una oscilación débilmente amortiguada disminuye a un ritmo tal que el factor de disminución por unidad de tiempo es constante. Es decir, si tarda una hora en reducirse desde su amplitud inicial hasta la mitad, tardará una hora adicional en reducirse desde la mitad hasta la cuarta parte, y otra hora mas para pasar de la cuarta parte a la octava parte, etc, etc, etc.

Matemáticamente, la relación entre la amplitud $A$ en un momento cualquiera y el instante inicial es $\dst A = A_0\, \ee ^{-\alpha t}$. En este problema en particular, $\alpha = \gamma /2$, como lo muestra el resultado suministrado por polonio.*

Entonces, armado de este conocimiento, al leer el enunciado del problema (o de otro similar en algún futuro), sabrás de inmediato que la respuesta correcta es 4.8 minutos, resultado que es independiente del coeficiente de amortiguamiento:

$$A_1 = A_0 \ee ^{-\alpha t_1} \quad \Rightarrow \quad \ln (A_0/A_1) = \alpha t_1$$

$$A_2 = A_0 \ee ^{-\alpha t_2} \quad \Rightarrow \quad \ln (A_0/A_2) = \alpha t_2$$

$$\frac {\ln (A_0/A_2)}{\ln (A_0/A_1)} = \frac {t_2}{t_1}$$

En este problema en particular, quedaría:

$$t_2 = \frac {\ln (A_0/A_2)}{\ln (A_0/A_1)} t_1 = \frac {\ln 4}{\ln 2} t_1 = \frac {\ln 2^2}{\ln 2} t_1 = 2 t_1 = 4.8\,\mathrm{min}$$

Saludos,

Al

______
* Hay un error de tipeo en el resultado que pone polonio, falta el signo menos en el exponencial.

[Pablo5]

Re: Problema de oscilador amortiguado

Muchas gracias a los 3,el comentario lo tendré en cuenta, pero lo único que sigo sin ver es cómo ha determinado polonio que :

\alpha = -\frac{\gamma}{2} ,

según el es una ecuación de carácter general, pero por desgracia no cuento con ella en los apuntes de los que dispongo ,entonces no sé si ésta ecuación genérica para el oscilador amortiguado implica que ese valor de alfa tenga ese resultado.

Es lo único lo demás si lo entiendo y si que disponía en apuntes de las demás fórmulas que habeis usado.

[polonio]

Re: Problema de oscilador amortiguado

______
* Hay un error de tipeo en el resultado que pone polonio, falta el signo menos en el exponencial.

Cierto, lo edito y lo corrijo.

[polonio]

Re: Problema de oscilador amortiguado

Muchas gracias a los 3,el comentario lo tendré en cuenta, pero lo único que sigo sin ver es cómo ha determinado polonio que :

\alpha = -\frac{\gamma}{2} ,

según el es una ecuación de carácter general, pero por desgracia no cuento con ella en los apuntes de los que dispongo ,entonces no sé si ésta ecuación genérica para el oscilador amortiguado implica que ese valor de alfa tenga ese resultado.

Es lo único lo demás si lo entiendo y si que disponía en apuntes de las demás fórmulas que habeis usado.

Tomar $\gamma$ o $\alpha=\gamma / 2$ es lo de menos, es una constante aparece al solucionar la ecuación diferencial y supongo que en clase no la habéis solucionado, sólo os habrán puesto el resultado final.

Lo que tienes que aprenderte es que $\gamma$ es el coeficiente de la velocidad partido por la masa: $\dst \gamma = \frac{\rho}{m}$

[Pablo5]

Re: Problema de oscilador amortiguado

Mi problema en teoría es que aparte de como dices, no nos han mostrado la manera como sacar esa constante en la ecuación diferencial y luego además lo tengo con otra notación, entonces el lío que he cogido ha sido curioso, tengo a lambda en vez de

[Pablo5]

Re: Problema de oscilador amortiguado

en vez de \rho . Gracias de todas formas

[polonio]

Re: Problema de oscilador amortiguado

Lo de la notación es lo de menos: fíjate en lo que aparece en la ecuación diferencial que te ponemos y compara con la que te han dado y ¡llámala como quieras!