2o ciclo Movimiento armónico simple

[3h2b]

necesito una ayuda respecto al MAS.
¿Cómo puedo demostrar que la frecuencia de una partícula depende de la masa y de la constante elástica?

Muchísimas gracias!

[lucass]

Re: Movimiento armónico simple

Podés demostrar que el período es $\dst T= \frac {2 \pi}{\omega}$ y que $\dst \omega = \sqrt {k/m}$.
Se te ocurre cómo?
Saludos

[Cat_in_a_box]

Re: Movimiento armónico simple

Como te dice lucass, lo puedes demostrar a partir del período. La demostración es sencilla, pero bueno, te ayudo:

Para ello, voy a recurrir a un ejemplo típico que se suele usar al estudiar las consideraciones dinámicas del MAS. Imagínate un cuerpo unido a un muelle. Cuando el cuerpo es apartado de la posici´pn de equilbrio, la fuerza restauradora tiende a devolverlo a dicha posición, ¿verdad? Esta fuerza, producirá una aceleración que se obtendrá de la igualdad:

$ma=-kx \Rightarrow a=-\dst\frac{k}{m}x$

Si tenemos en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición con respecto al tiempo (o primera de la velocidad, pero no nos interesa en este caso) podemos escribir que:

$\dst\frac{d^2x}{dt^2}=-\dst\frac{k}{m}x$

Es decir, la ecuación de posición x que describe este movimiento debe ser tal que al derivarla dos veces con respecto al tiempo vuelva a obtenerse ella misma multiplicada por -k/m, no he hecho más que eso. Se puede comprobar que esta ecuación se trata de la ecuación del oscilador armónico. Obtenemos por tanto que:

$\dst\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2A\cos(\omega + \varphi)=-\omega^2x$

Fíjate que la expresión x considerada será la solución siempre que:

$\omega^2=\dst\frac{k}{m}$

Pues mira, ya tenemos algo relacionado, así que lo demás será bastante sencillo. Como te dijo lucass, podemos hacer la relación con $\omega$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Así podemos despejar el período de la expresión anterior, y como consecuencia la frecuencia:

$T= 2\pi\sqrt{\dst\frac{m}{k}}$

Por tanto:

$nu=\dst\frac{1}{T} \Rightarrow \nu=\dst\frac{1}{2\pi} \sqrt{\dst\frac{k}{m}}$

Ya tienes una expresión que relaciona la frecuencia con la masa de una partícula y la constante elástica.
Ten en cuenta que la independencia de la amplitud es válida siempre y cuando en los límites de amplitud que manjemos se siga cumpliendo la ley de Hooke.

Saludos,

[lucass]

Re: Movimiento armónico simple

Bueno, eso que hiciste cat in a box es la idea, sólo que: no has demostrado que $\dst \omega^2=\dst\frac{k}{m}$ ni que $\dst T= \frac {2 \pi}{\omega}$ que digamos que son las dos cosas más importantes (aparte de la ecuación de movimiento, claro).
Sin embargo, creo que lo podés hacer sin problemas, no sé el amigo 3h2b que no volvió a aparecer...
salu'

[Cat_in_a_box]

Re: Movimiento armónico simple

Hola lucass,
Ayer no tenía mucho tiempo y simplemente dejé, como tú has dicho, planteada la idea general. Por otra parte, he de reconocer que mi nivel no es tan alto como para resolver la ecuación diferencial básica del movimiento armónico simple, por lo que voy a hacer la demostración de otro modo más sencillo, a ver qué te parece, puede que no sea el correcto. Habría que hacer algún dibujo para ver las fuerzas que actúan, pero vamos a abstraernos un poquito

Bueno, imaginemos un muelle que tiene una longitud incial $x_0$. Si colgamos de este un cuerpo de masa m, y lo dejamos, se alcanzará el equilibrio cuando la suma de las fuerzas que actúan sea cero, en este caso la fuerza restauradora y el peso del cuerpo, luego:

$\sum F=0 \Leftrightarrow P=F_e \Rightarrow mg=k\Delta x_1$
Siendo $\Delta x_1$ la longitud que se estira el muelle desde su posición incial. Por tanto, la constante elástica de este muelle sería:

$k=\dst\frac{mg}{\Delta x_1}$

Ahora, imaginemos que a ese muelle que está en equilibrio le aplicamos una fuerza y estiramos una longitud $\Delta x_2$ y no soltamos el muelle, de modo que volvemos a alcanzar el equilibrio. En este caso:

$P+F_1=F'_e \Rightarrow mg+F_1=k(\Delta x_1 + \Delta x_2$
Por tanto, la constante elástica del muelle en este caso será:

$k'=\dst\frac{mg+F_1}{\Delta x_1 + \Delta x_2}$

Por último, imaginemos que soltamos el muelle, o sea, desaparece la fuerza $F_1$ por lo que se rompe el equilibrio; en este caso, la fuerza restauradora será mayor que el peso:

$\vec F'_e > \vec P$

El sumatorio de las fuerzas que actúan será: $\sum \vec F=m\cdot\vec a$

$\vec P + \vec F'_e = m\cdot\vec a \Rightarrow F'_e - P= m\cdot a$

Recordemos que el peso era igual a $P=k\Delta x_1$ del primer caso, luego, para sumar las fuerzas que actúan en éste, restamos los módulos de ambas fuerzas:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Realmente lo que se cumple es que: $k\Delta x_2 = -m\cdot\vec a$
Luego la aceleración será igual a:

$a=-\dst\frac{k}{m}\cdot\Delta x_2$

Observamos que es una aceleración directamente proporcional a la elongación, pero de sentido contrario, vamos, la aceleración del movimiento vibratorio armónico simple.

Recordemos que la velocidad en este tipo de movimiento es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si $\cos(\omega t + \varphi_0)=1$ y aplicando la expresión fundametal de la trigonometría, tenemos que:

$\sin^2\omega + \cos^2\omega=1 \Rightarrow \cos\omega=\sqrt{1-\sin^2\omega}$

Para facilitar los cálculos y no ir arrastrando la fase inicial, supogamos que ésta es cero:

Luego si $v=A\omega\cos(\omega t)$ entonces:

$v=A\omega\sqrt{1-\sin^2(\omega t)}\Rightarrow v=\omega\sqrt{A^2-A^2\sin^2(\omega t)}=\omega\sqrt{A^2-x^2}$

Como la aceleración es: $dv/dt$ obtenemos que:

$a=\dst\frac{dv}{dt}=\dst\frac{d}{dt}\left[A\omega\cos(\omega t)\right]=-A\omega^2\sin(\omega t)= -\omega^2 x$

Bien, ya tenemos la aceleración del MAS. Aplicándola al caso del muelle:

$a=-k\dst\frac{k}{m}\Delta x_2 \Rightarrow \omega^2\Delta x_2 =-\dst\frac{k}{m}\Delta x_2 \Rightarrow -\omega^2=-\dst\frac{k}{m} \Rightarrow \omega=\sqrt{\dst\frac{k}{m}}$

Como la pulsación la podemos expresar como: $\omega = 2\pi \nu$ entonces:

$2\pi\nu=\sqrt{\dst\frac{k}{m}}\Rightarrow \nu=\dst\frac{1}{2\pi}\sqrt{\dst\frac{k}{m}}\Rightarrow T=2\pi\sqrt{\dst\frac{k}{m}}$

Así queda demostrado que la frecuencia depende de la constante elástica y de la masa, y no de la amplitud siempre que se cumpla la condición que dije ayer de la ley de Hooke.

Me gustaría si me dijeran si es correcto el razonamiento o si hay algún fallo, pues como ya he dicho, no sé resolver la ecuación diferencial.

Saludos y gracias,

[3h2b]

Re: Movimiento armónico simple

perdón por daros las gracias tan tarde... pero no he tenido la ocasión antes... me ha sido de gran ayuda! muchas gracias!