1r ciclo Problema de Oscilaciones

[Uranio]

Buenas, realizando algunos ejercicios de oscilaciones, me he encontrado con el siguiente, que realmente me está dejando un poco chafado, pues no caigo en como empezar si quiera, tal vez sea porque no he hecho nunca uno parecido o porque no estoy muy lúcido
A ver si alguien me puede iluminar un poco el camino

Allá va el problemilla:

Determinar la frecuencia natural del sistema resorte-masa-polea mostrado en la figura, del cual se conoce la masa (M) y radio (R) de la polea, la masa (m) colgada y la constante elástica del muelle (k).
[ATTACH=CONFIG]3566[/ATTACH]

Muchas gracias por adelantado.

[carmelo]

Re: Problema de Oscilaciones

Hola:

Te voy a dejar planteadas las ecuaciones, espero que puedas continuar.

Consideremos como $x$ la extensión del resorte respecto a su longitud natural.

$$T^\prime=kx$$

$$(T-T^\prime)R=I\alpha$$

$$mg-T=m\ddot{x}$$

$$\alpha=\dst\frac{\ddot{x}}R$$

Yo obtuve:

$$\omega=\sqrt{\dst\frac{2k}{M+2m}}$$

Editado Gracias Al

Saludos
Carmelo

[Al2000]

Re: Problema de Oscilaciones

...
Yo obtuve:

$$\omega=\sqrt{\dst\frac{2k}{M+2m}g}$$

...

Se te coló una $g$ demás.

Saludos,

Al

[Uranio]

Re: Problema de Oscilaciones

Muchas gracias! No había caído en aplicar el momento de inercia

Entiendo las ecuaciones que has puesto, pero no veo como relacionarlas con la frecuencia natural.
He llegado a la siguiente expresión:
$2m(g-a)-2kx=M*a$

Una cosa, debo entender la x como con diéresis como la aceleración, ¿no? No había visto esa notación.
Un saludo

[carmelo]

Re: Problema de Oscilaciones

Hola:

La expresión a la que has llegado es correcta. Sólo queda trabajar un poco con ella. Lo de la notación es correcto la aceleración $a=\ddot{x}=\dst\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}$ y para que sepas la velocidad se expresa como $v=\dot{x}=\dst\frac{\dd x}{\dd t}$. Volviendo a la expresión que habias obtenido y operando llegaras a:

$$(M+2m)\ddot{x}+2kx=2mg$$

o

$$\ddot{x}+\dst\frac{2k}{M+2m}x=\dst\frac{2m}{M+2m}g$$

La cual haciendo el cambio de variable $u=\dst\frac{2k}{M+2m}x-\dst\frac{2m}{M+2m}g$
Se obtiene una ecuación del tipo.

$$\ddot{u}+\dst\frac{2k}{M+2m}u=0$$

que si la relacionas con la ecuación típica para un movimiento armónico simple:

$$\ddot{u}+\omega^2u=0$$

podras obtener facilmente la expresión para $\omega$.

También podes obtener el valor de la frecuencia sustituyendo directamente en la ecuación diferencial la solución $u=A\cos(\omega t+\delta)$

Saludos
Carmelo

[Uranio]

Re: Problema de Oscilaciones

Buenas, muchas gracias!

Bueno para el desarrollo lo que he hecho ha sido:

$(M+2m)a+2kx=2mg$

Despejando $a$:

$a=\frac{2(mg-kx)}{(M+2m)}$

Aplicando la fórmula que comentabas de los MAS ($a=-\omega^2 x$), podemos igualar las dos expresiones de aceleración y encontramos:

$\omega = \sqrt{\frac{2(kx-mg)}{(M+2m)x} }$

Vamos, creo que es correcto, pero no sé como simplificarlo para que quede la misma expresión que a tí.
Si he hecho algo mal, sólo es comentármelo

Un saludo

[carmelo]

Re: Problema de Oscilaciones

Buenas, muchas gracias!

Bueno para el desarrollo lo que he hecho ha sido:

$(M+2m)a+2kx=2mg$

Despejando $a$:

$a=\frac{2(mg-kx)}{(M+2m)}$

Aplicando la fórmula que comentabas de los MAS ($a=-\omega^2 x$), podemos igualar las dos expresiones de aceleración y encontramos:

$\omega = \sqrt{\frac{2(kx-mg)}{(M+2m)x} }$

Vamos, creo que es correcto, pero no sé como simplificarlo para que quede la misma expresión que a tí.
Si he hecho algo mal, sólo es comentármelo

Un saludo

El problema que existe en tu razonamiento es que estas operando con una ecuación diferencial como si fuera una ecuación algebraica. En otras palabras no podes simplificar la expresión de $\omega$ dado que no sabes como varía la x dentro del radical.

Te voy a dar una opción.
Supongo que conoces la ecuación típica del movimiento armónico simple.
$u=A\cos(\omega t+\delta)$
Derivando respecto al tiempo:
$\dot{u}=-A\omega \sin(\omega t+\delta)$
Derivando una vez más:
$\ddot{u}=-A\omega^2(\omega t+\delta)=-\omega^2u$ o $\ddot{u}+\omega^2u=0$
Comparando con la ecuación que obtuvistes anteriormente:
$\ddot{u}+\dst\frac{2k}{M+2m}u=0$
Encontramos que:
$\omega^2=\dst\frac{2k}{M+2m}$

Saludos
Carmelo