Secundaria Piedra lanzada a un pozo

[JesusJ]

Hola, quería haceros una consulta, hay un problema que le han puesto a mi hija en el instituto, yo no he estudiado, pero juego con los numeros (para tener la cabeza despierta, nada mas), el problema es "si tiras una piedra a un pozo y escuchas el golpe a los 4 segundos, que profundidad tiene el pozo".

Yo he igualado el espacio de la aceleración de la piedra con el espacio de la velocidad del sonido, y he sustituido el tiempo (4= t + t1), total me ha dado setenta y poco (no lo tengo aqui ahora), mi pregunta no es para resolver el problema, sino

¿existe una fórmula en la que solo sea necesario sustituir el tiempo total?

[Al2000]

Re: Piedra lanzada a un pozo

Si planteas y resuelves las tres ecuaciones $\dst h = \frac 1 2 g t_1^2$, $\dst h = v_s t_2$ y $\dst t_1 + t_2 = t$, llegarás a la fórmula cerrada $\dst h = \frac {v_s} g \left[v_s + g t - \sqrt {v_s \left(v_s + 2 g t \right)}\right]$. Para 4 segundos, estarías obteniendo 70.53 metros.

Una cuenta rápida cuando no se necesita mucha precisión sería $h = 5 t^2$, que en este caso daría 80 metros, es decir, un error de un 13% por exceso.

Saludos,

Al

[Spock]

Re: Piedra lanzada a un pozo

¿Estás tirando la piedra o la estás dejando caer? Porque no es lo mismo tirarlo con una velocidad inicial que sin ella. Pero, como el enunciado del problema no dice nada, asumo que la estamos dejando caer con V=0

Entonces, creo que sería bastante fácil usando la fórmula

${h}_{f}={h}_{i}-\frac{1}{2}\text{g}{t}^{2}$

Donde ${h}_{f}$ es la altura que tendrá al final del trayecto (evidentemente, cero metros), ${h}_{i}$ es la altura que tiene al principio del trayecto (que es lo que queremos averiguar), $g$ es la gravedad (9'8) y ${t}^{2}$ es el tiempo que tarda en caer (4 segundos) elevado a dos.

A mí me da 78'4 metros

[Cat_in_a_box]

Re: Piedra lanzada a un pozo

Hola,

Donde es la altura que tendrá al final del trayecto (evidentemente, cero metros), es la altura que tiene al principio del trayecto (que es lo que queremos averiguar), es la gravedad (9'8) y es el tiempo que tarda en caer (4 segundos) elevado a dos.

Eso no es correcto Spock, estás suponiendo que tarda cuatro segundos en caer, pero el problema te dice que tardas 4 segundos en escuchar que ha caído, lo cual es muy diferente, porque las ondas sonoras tardan un tiempo en llegar a nuestro oído, o sea, no es instantáneo el momento de caída a cuando tú lo oyes, que es lo que estás suponiendo.

Es un problema bastante típico, y es tal y como lo ha planteado Al200. Las ecuaciones que ha puesto son:
$h=\dst\frac{1}{2}gt^2_{piedra}$

Esta ecuación representa el movimiento de caída libre de la piedra, y bueno, yo he llamado $t_{piedra}$ al tiempo que tarda la piedra en llegar al fondo del pozo.
La otra ecuación, y aquí es donde reside lo importante del problema, es la del sonido. Éste se propaga a una velocidad constante, que en el aire es el consabido valor de 340m/s aproximadamente (depende de la temperatura, por cierto). Por lo que podemos establecer otra ecuación:
$h=v_{sonido}\cdot t_{sonido}$. Fíjate que es la ecuación de un movimiento uniforme. Por tanto, el tiempo que tarde la piedra en llegar al pozo y el del sonido, será igual al tiempo total, llamemoslo t, que es la suma de los tiempos anteriores, o sea:

$t=t_{piedra}+t_{sonido}$

Así tienes un sistema de ecuaciones sencillo de resolver. A mí me da 70.48, decimal arriba decimal abajo. El tiempo que la piedra tarda en llegar al fondo del pozo me sale 3.79 s aproximadamente, y el del sonido, pues 4-3.79=0.21s que multiplicado por la velocidad del sonido en el aire da 71.4 también.

Ves que cada cosa tarda un tiempo, y 4s es el total que tú tardas en oír la piedra dar en el fondo del pozo.
Saludos,

[Spock]

Re: Piedra lanzada a un pozo

@Cat_in_a_box: Cierto! Metedura de pata por mi parte, tienes razón

Gracias por la corrección.