Secundaria Equilibrio del Sólido Rígido

[warny]

Hola buenos días,

A continuación propongo un ejercicio de equilibrio, tratándose de averiguar cuál es la posición correcta para que el sólido esté en equilibrio.
Me gustaría que comentáseis como se haría dicho ejercicio.

Un saludo.

[Al2000]

Re: Equilibrio del Sólido Rígido

Yo lo intentaría a partir de la consideración de que el punto de equilibrio ocurrirá cuando el centro de masa de la varilla esté lo mas bajo posible. Usando ese criterio obtuve que la altura del pasador debe ser 1.21 R, pero debo revisar porque estoy medio dormido

Saludos,

Al

[_L_]

Re: Equilibrio del Sólido Rígido

Yo lo haria teniendo en cuenta que la fuerza del extremo articulado tiene que tener solo componente x porque si no se moveria y el peso seria componente y. De ahi ten en cuenta que la fuerza que hace la superficie en la que esta apoyado la fuerza tiene direccion radial. Dependiendo del punto el angulo de esta fuerza cambia, Igualar fuerzas a 0 y asi hayas el agunlo que tiene esa fuerza.

Luego igualando los momentos a 0 tomando como punto de referencia el extremo articulado tienes los modulos de las fuerzas y la distancia al centro de masas y solo te falta saber la distancia de donde se tiene la fuerza que genera la superficie. De ahi sacas el punto donde la varilla de apoya en la esfera.

Ahi sabes entonces que la fuerza y la varilla forman 90º y por lo tanto te queda un triangulo rectangulo cuya hipotenusa es la altura que te interesa y un cateto es la distancia que obtubistes desde el pasador y tambien sabes el angulo de la fuerza es decir uno de los angulos de el triangulo, de ahi sacas la altura

[Artos]

Re: Equilibrio del Sólido Rígido

yo lo haria planteando que la sumatoriia de fuerzas debe ser 0 en cada punto del rigido y que la sumatoria de momentos tambien ha de ser 0. te recomendaria que empiezes por obtener una exprecion para la distancia enntre el punto de apoyo y el pasador y que te quede en funcion de r y h, asi sabras donde se aplica la normal, luego newton y momento, resuelves el sistema y oobtiennes tu respuesta

[Al2000]

Re: Equilibrio del Sólido Rígido

Revisé mis cálculos y no conseguí ningún error. Lo resolví de nuevo, esta vez por sumatoria de fuerzas y momentos, y obtuve la misma respuesta: la altura del pasador será 1.2106 R.

Aquí mi planteamiento siguiendo mi primera idea, minimizar la energía potencial de la varilla:

$$h \cos \theta = R$$

$$h_{cm} = h - \frac L 2 \cos \left(\frac \pi 2 - \theta \right) = h - R \, \mathrm {sen} \, \theta$$

donde $R \leqslant h \leqslant \sqrt 5 R$ es la altura del pasador, medida desde el centro del semicírculo y $\theta$ es el ángulo entre la línea trazada desde el punto de tangencia hasta el centro y la vertical.

Eliminando $\theta$ se obtiene la expresión

$$h_{cm} = h - R \sqrt {1 - R^2/h^2}$$

la cual, luego de derivar e igualar la derivada a cero, resulta en el polinomio

$$h^6 - R^2 h^4 - R^6 = 0$$

cuya solución, cortesía del computador, es

$$h = \frac {\sqrt 6} 6 \sqrt {\sqrt [3]{116 + 12 \sqrt {93}} + \frac 4 {\sqrt [3]{116 + 12 \sqrt {93}}} + 2} \cdot R = 1.2106 R$$

Si en lugar de eliminar $\theta$ se elimina $h$, la expresión que queda es algo mas fácil de derivar, pero no lo salva a uno del polinomio cúbico:

$$h_{cm} = \frac R {\cos \theta } - R \, \mathrm {sen} \, \theta$$

Derivando e igualando la derivada a cero, se llega a la ecuación

$$\cos ^3 \theta - \, \mathrm {sen} \, \theta = 0$$

que eventualmente lleva al mismo valor para $h$.

Saludos,

Al

[warny]

Re: Equilibrio del Sólido Rígido

Cómo eliminas en la expresión h?
Un saludo Al2000

[Al2000]

Re: Equilibrio del Sólido Rígido

¿Despejando $h$ de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda?

Saludos,

Al