1r ciclo Una barra y una masa en su centro... En sus extremos, 2 resortes... ¿La ec. de movimiento es?

[Templario777]

El sistema de la figura consiste en una barra AB de longitud 2l y masa despreciable, sometida a la acción de dos resortes de longitud natural nula.
El punto A se mueve sobre una guía horizontal lisa OC y el punto B se mueve sobre una guía vertical también lisa. O y C son fijos, y están separados una distancia 2l. En el punto medio P de la barra hay incrustada una partícula de masa m.

a) Hallar la ecuación del movimiento usando el teorema de la energía.
b) Hallar las posiciones de equilibrio y estudiar su estabilidad.

Amig@s, he intentado aplicando el teorema trabajo-energía pero no logro resolver el problema, hay que resolverlo aplicando solo técnicas de trabajo y energía.

La solución es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El esquema que use fue el siguiente:



P.D.:¿Alguien sabe cómo hacer un spoiler (te permite ocultar información a menos de un clic, luego del cual se despliega la misma) aquí?

Gracias

[Al2000]

Re: Una barra y una masa en su centro... En sus extremos, 2 resortes... ¿La ec. de movimiento es?

Si pones el cero de energía en la situación en la cual la barra AB está horizontal ($\varphi = \pi /2$), entonces la energía para una posición cualquiera de la barra será

$\dst U = \frac 1 2 k x_A^2 - m g y_P + \frac 1 2 k y_B^2$

pero

$\dst x_A = 2 l - 2 l \, \mathrm {sen} \, \varphi = 2 l (1 - \, \mathrm {sen} \, \varphi )$

$\dst y_B = 2 l \cos \varphi$

$\dst y_P = l \cos \varphi$

Poniendo todo junto, desarrollando los cuadrados, sustituyendo el valor indicado de $k$ y simplificando, la energía queda

$\dst U = m g l (1 - \, \mathrm {sen} \, \varphi - \cos \varphi )$

Espero puedas seguir a partir de aquí.

Saludos,

Al

[_L_]

Re: Una barra y una masa en su centro... En sus extremos, 2 resortes... ¿La ec. de movimiento es?

y yo que no he dado nada de esto...

Y luego que habria que hacer Al? derivar la energia y buscar los puntos de equilibrio inestable y estable?

[Al2000]

Re: Una barra y una masa en su centro... En sus extremos, 2 resortes... ¿La ec. de movimiento es?

La ecuación de movimiento en función del ángulo se obtiene inmediatamente derivando la energía para obtener el torque. Para hallar el punto de equilibrio, lo que tienes que hacer es de nuevo derivar para buscar el mínimo de la energía (lo que es equivalente a establecer la condición de que el torque sea cero).

Saludos,

Al

[_L_]

Re: Una barra y una masa en su centro... En sus extremos, 2 resortes... ¿La ec. de movimiento es?

eso me referia. Entonces derivo U igualo a 0 y me sale como si fuese una grafica maximos y minimos los maximos serian inestable y minimos estable no?

[Templario777]

Re: Una barra y una masa en su centro... En sus extremos, 2 resortes... ¿La ec. de movimiento es?

Por qué pones un menos en la energía potencial? Muchas gracias Al2000 por traer luz a mi vida!!!

[Al2000]

Re: Una barra y una masa en su centro... En sus extremos, 2 resortes... ¿La ec. de movimiento es?

Si te refieres al término $- m g y_P$, es negativo porque al bajar una distancia $y_P$ el sistema pierde esa cantidad de energía potencial gravitacional. No olvides que al poner $U$, en realidad estamos hablando del cambio de energía potencial respecto del nivel de referencia que indiqué en mi mensaje.

Saludos,

Al

[Templario777]

Re: Una barra y una masa en su centro... En sus extremos, 2 resortes... ¿La ec. de movimiento es?

Al2000, ¿por qué no consideras también la enegía cinética de la masa?

[Al2000]

Re: Una barra y una masa en su centro... En sus extremos, 2 resortes... ¿La ec. de movimiento es?

Para determinar las fuerzas, o torques en este caso, no necesitas la energía cinética. Fíjate que las fuerzas, al igual que la energía potencial, no dependen de la velocidad sino de la configuración espacial del sistema.

Es como cuando analizas el movimiento de un sistema masa-resorte. Para establecer la ecuación de movimiento sólo necesitas las fuerzas que actúan en el sistema. La velocidad la obtienes como parte de la solución de la ecuación de movimiento y las condiciones iniciales.

Saludos,

Al