Primaria problema con calculo de trabajo

[jotomas]

Hola, es el primer mensaje en este foro, y tengo una duda para resolver el siguiente problema:
-Tengo que calcular el trabajo de la siguiente fuerza [N], a lo largo de la parabola y=x2 , z=0, de x=1 [m] a x=9.3 [m].

hasta el momento se me ocurre integrar la fuerza y pa ello tengo que w=Fxdx+Fydy y derivo la parabola.

alguna ayuda de como resolver el ejercicio?
Saludos

[Artos]

Re: problema con calculo de trabajo

no se si lo hallas visto ya en matematicas, pero te comento:

el trabajo de una fuerza respecto a una trayectoria no es otra cosa que :${{ \int}^{b}}_{a} F . ds$

cuando la trayectoria no es una recta, la podes calcular como la integral de linea de una campo vectoreal: ${\int}_{\phi }F(x,y,z) ds$, donde $\phi$ es una parametrizacion de la trayectoria (deberias parametrizar esa parabola... una forma facil de parametrizarla, ya que z es constante, ya tenes y en funcion de x, y como si fuera poco ya tenes el intervalo de x. usar x como parametro) la parametrixacion te quedaria: ${\phi}_{(t)}=(t,{t}^{2},0)$ y el dominio: $1 \leqslant t\leqslant 9.3$.

la integral te queda:${\int}_{\phi } F(x,y,z) ds ={{\int}^{b}}_{a} F(\phi(t)).\phi '(t)$

observaciones:
$\phi '(t)$ es el vector: $(\frac{\partial {\phi}_{1} }{\partial t},\frac{\partial {\phi}_{2} }{\partial t},\frac{\partial {\phi}_{3} }{\partial t})$

$F(\phi(t))$ es la composicion de F con la parametrizacion.

el . es un producto escalar

y a y b son los extremos del domino de la parametrizacion.

bueno, espero que te sirva.

[Artos]

Re: problema con calculo de trabajo

me quede pensando..... hay una forma mas facil de verlo, visto y considerando que la F que tenes es un campo conservativo (el Rotor es 0) podes calcular los trabajos calculando el trabajo en x, el trabajo en y y el trabajo en z por separado usando rectas tal que el punto de origen y el punto final sean los dados (desde ya el trabajo en z es 0), el trabajo en x sera la integral de Fx entre xi y xf, el trabajo en y la integral de Fy entre y inicial e y final (es decir entre y(1) que es 1 e y(9.3) que es 9.3^2) sumas y listo.

repito, esto lo podes hacer porque el Campo de F es conservativo, y da igual cualquier curva que tomes mientras los extremos sean los mismos, si no fuera conservatico, bueno, hay si no hay otra tendras que hacer la integral de linea sobre la curva.

[Al2000]

Re: problema con calculo de trabajo

No tienes porqué complicarte la vida con la parametrización, o puesto de otra forma, ya tienes la expresión parametrizada con $x$ como parámetro. El cálculo iría así:

$$W = \int_C \boldsymbol F \boldsymbol \cdot d \boldsymbol l = \int _C(x\,\boldsymbol i + y\, \boldsymbol j + z\, \boldsymbol k) \boldsymbol \cdot (dx\, \boldsymbol i + dy\, \boldsymbol j + dz\, \boldsymbol k)$$

Pero a lo largo de la parábola

$$y = x^2,\quad dy = 2 x \,dx, \quad z = 0, \quad dz = 0$$

Entonces

$$W = \int_1^{9.3}\!\! (x\, \boldsymbol i + x^2\, \boldsymbol j) \boldsymbol \cdot (dx\, \boldsymbol i + 2 x \,dx\, \boldsymbol j) = \int_{1}^{9.3}\!\! (x + 2 x^3)\, dx = 3782.5051\,\mathrm{N m}$$

Saludos,

Al

[jotomas]

Re: problema con calculo de trabajo

Gracias por la respuesta, era el camino que tenia pensado seguir pero no estaba seguro como quedaba la integral al final.

Saludos