1r ciclo Dos pi.

[Vipoke]

¿Por qué aparece un factor $2 \pi$ en la ecuación de un movimiento ondulatorio? ¿Pasa lo mismo en la ecuación de un movimiento armónico en general?

[xXminombreXx]

Re: Dos pi.

¿Qué $2\pi$?

$y = A\sin (\omega t \pm kx +\varphi)$

[guibix]

Re: Dos pi.

¿Por qué aparece un factor $2 \pi$ en la ecuación de un movimiento ondulatorio? ¿Pasa lo mismo en la ecuación de un movimiento armónico en general?

Siempre que sale pi es que hablamos de un ángulo en radianes $2\pi rad= 360^O$

[aLFRe]

Re: Dos pi.

¿Por qué aparece un factor $2 \pi$ en la ecuación de un movimiento ondulatorio? ¿Pasa lo mismo en la ecuación de un movimiento armónico en general?

Como ya sabes tanto el movimiento armónico simple como una onda son tipos de movimientos periódicos.

En el caso del movimiento armónico simple, si describes una magnitud física,
por ejemplo el desplazamiento - el desplazamiento es la variable dependiente -
mediante una función f ( t ) del tiempo - el tiempo es la variable independiente -,
esa función es periódica de periodo T : f ( t + T ) = f ( t )

En el caso de las ondas en una dimensión - la x - , si describes una magnitud física,
debe existir una doble periodicidad en el tiempo y en el espacio y la función sería f ( x, t )
[tex]f ( x, t + T ) = f ( t ) [tex] y T es el periodo
y $f ( x + \lambda, t ) = f ( x, t )$ y $\lambda$ es la longitud de onda.

Cuando obtienes la función periódica en el caso de periodicidad temporal f ( t ) que te describe el fenómeno físico
para los casos más simples te sale un $\sin$ o un $\cos$
que si el argumento va en radianes son funciones $2 \pi$ periódicas :
$\sin x = \sin ( x + 2 \pi )$
y por esto la frecuencia angular se define como $\omega = \frac{ 2 \pi }{T }$
y el número de ondas como $k = \frac{ 2 \pi }{\lambda }$
Si describes un M.A.S. usando tiempo t y el periodo T
debes de incorporar un factor $2 \pi$ en el argumento de la función si trabajas con radianes

Si describes una onda unidimensional usando
tiempo t y el periodo T
y posicion x y longitud de onda $\lambda$
debes de incorporar un factor $2 \pi$ en el argumento de la función si trabajas con radianes.

Saludos.

[Vipoke]

Re: Dos pi.

Y si en un enunciado de un ejercicio te dicen algo del tipo... "Un movimiento armónico simple tiene una frecuencia de 100 Hz" ¿Para obtener el periodo se iguala a $2\pi/T$ o a $1/T$ a secas?

[Cat_in_a_box]

Re: Dos pi.

Por supuesto no voy a discutir nada de lo que ha explicado alFRe ya que creo que da una respuesta perfecta a la pregunta del hilo

Sólo es una cosa, por xXminombreXx, que se le ha pasado y se ha ido diréctamente a la ecuación general de una onda armónica:

¿Qué ?

A esa expresión no se llega por arte de magia, sino que tiene un procedimiento más o menos largo. Más o menos sería este. Considera una onda que se propaga por una cuerda, pues bien, un punto de esta misma vibrará siguiendo un movimiento vibratorio armónico simple, supongamos el foco, cuya ecuación será:

$y_F=A\sin\omega t$

Ahora supongamos que el foco tarda en llegar a un punto J t' segundos. Como J describe un movimiento vibratorio armónico simple, la ecuación será:

$y_J=A\sin[\omega (t-t')]=A\sin(\omega t-\omega t')$

Ahora bien, hemos de tener en cuenta que la onda también se propaga a una velocidad, que es constante y depende exclusivamente de las caracterísitcas del medio. Esta la podemos definir como:

$V=\dst\frac{x}{t'} \Rightarrow t'=\dst\frac{x}{V}$

Sustituyendo en la ecuación de vibración del punto J, obtenemos la siguiente expresión:

$y_{(x,t)}=A\sin\left(\omega t-\omega \dst\frac{x}{V}\right)$

Recordando la relación entre frecuencia angular y frecuencia, podemos escribir lo anterior del siguiente modo, y ahí es donde aparece el 2 $\pi$:

$\omega = 2\pi\nu=\dst\frac{2\pi}{T} \Rightarrow y_{(x,t)}=A\sin\left(\omega t -\dst\frac{2\pi}{T}\cdot \dst\frac{x}{V}\right)$

Además, definiendo la longitud de onda como la distancia que hay entre dos puntos consecutivos de la onda que tienen el mismo estado de vibración, o vamos, que están en fase, o bien, la distancia que recorre la onda en un período:

$V=\dst\frac{\lambda}{T}=\lambda \nu \Rightarrow \lambda=VT$

$y_{(x,t)}=A\sin\left(\omega t -\dst\frac{2\pi}{T}\cdot \dst\frac{x}{V}\right)=A\sin\left(\omega t-\dst\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$

Por último, como el número de onda es el número de ondas que hay en una longitud de $2\pi$ metros, tenemos que:

$y_{(x,t)}=A\sin\left(\omega t-\dst\frac{2\pi x}{\lambda}\right)=A\sin (\omega t-kx)$

He considerado todo el rato que la onda se propaga hacia la derecha de ahí el signo menos y que no hay fase inicial. De todo esto viene la ecuación general de una onda armónica:

$\boxed{y_{(x,t)}=A\sin(\omega t\mp kx+\varphi _0)}$

En el caso de una onda que se propaga por una cuerda, en la que la onda se propaga en la dirección X y donde el valor de la coordenada Y varía con x y t. Pero la magntiud que varía con x y t puede ser cualquiera, desde la presión en las ondas sonoras hasta los campos magnéticos y eléctricos en la ondas electromagnéticas, de ahí que se suele representar de forma general la onda armónica como:

$\psi _{(x,t)}=\psi _0 \sin (\omega t\mp kx)$

Donde $\psi _{(x,t)}, \quad \psi _0$ representan de modo genérico la magnitud perturbada y el valor máximo de dicha amplitud respectivamente. Pero vamos, eso son nimiedades, lo importante es lo que te ha dicho alFRe en el anterior post; ten en cuenta que las ondas armónicas son aquellas cuya función de onda que las describe es una función sinusoidal (del tipo seno o coseno) y ya sabes la periodicidad de este tipo de ondas, me imagino por Matemáticas.

Saludos,

[xXminombreXx]

Re: Dos pi.

A cat_in_the_box, pues bueno, gracias, lo sabía, pero como el hablaba de la ecuación, pues me fui a esa, supongo que la duda que él tiene no se tiene cuando se sabe el proceso para sacar la ecuación. Luego vi también que a veces se deja de esta otra forma, sacando el $2\pi$ de la $\omega$ y de la k:

$$y = A\sin [2\pi (\frac{t}{T} \pm \frac{x}{\lambda } + \varphi )]$$

Pero bueno, supongo que duda resuelta, y para su segunda pregunta:

Y si en un enunciado de un ejercicio te dicen algo del tipo... "Un movimiento armónico simple tiene una frecuencia de 100 Hz" ¿Para obtener el periodo se iguala a $2\pi/T$ o a $1/T$ a secas?

La frecuencia es la inversa del periodo, por definición, periodo el tiempo que tarda en dar una vuelta y frecuencia las vueltas que da por unidad de tiempo.

Si tienes la frecuencia, para sacar el periodo solo tienes que hacer la inversa.

Ese $2\pi$ es para la velocidad angular.

Como ya te han dicho, ese $2\pi$ es un ángulo en radianes, una vuelta entera, 360º. La velocidad angular se define como los radianes que recorre por segundo, si tienes el tiempo que tarda en dar una vuelta, pues si divides una vuelta ($2\pi$), entre el tiempo que tarda en darla tendrás los radianes que recorre por unidad de tiempo:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}$$

[Cat_in_a_box]

Re: Dos pi.

"Un movimiento armónico simple tiene una frecuencia de 100 Hz" ¿Para obtener el periodo se iguala a o a a secas?

Ya te lo he dicho al explicar más o menos de dónde viene esa expresión, así como la relación con las anteriores. Si te dicen la frecuencia puedes sacar tranquilamente el período del siguiente modo:

$\nu=\dst\frac{1}{T}$

Recuerda, ambas magnitudes son inversas!

Saludos,

[Cat_in_a_box]

Re: Dos pi.

Por cierto, xXminombreXx, siento haber contestado a lo mismo, no lo he visto mientras estaba escribiendo

Saludos,

[xXminombreXx]

Re: Dos pi.

Por cierto, xXminombreXx, siento haber contestado a lo mismo, no lo he visto mientras estaba escribiendo

Saludos,

Ok, edité el mensaje para poner el primer párrafo porque tampoco vi tu respuesta, no la habías publicado cuando le di a "Responder".

Un saludo.