Secundaria Función de la elongación para un movimiento armónico simple

[danielrossonero]

Buenas,

tengo una duda bastante tonta con la ecuación de la elongación en el movimiento armónico simple (MAS).
Según tengo entendido, la función sale de comparar dicho movimiento con el movimiento circular uniforme (MCU). La elongación viene dada por la proyeccion horizontal sobre el diámetro de la circunferencia (supongamos que de radio "A") en que se desplaza una supuesta partícula con MCU. Esto es, el MAS es f(t)=A.cos( [FONT=&quot]ω[/FONT]t+ δ)

donde δ es la constante de fase y [FONT=&quot]ω[/FONT] la frecuencia angular

Ahora bien, en los libros de bachiller y en muchos sitios españoles encontrados en Google la función de la elongación es f(t)=A.sin( [FONT=&quot]ω[/FONT]t+δ).
La primera ecuación la encuentro en todos los libros originalmente ingleses (Giancoli, Tipler, Serway, etc.).

¿Esto depende de si la elongación se toma sobre el eje de abscisas o de las ordenadas?¿Depende de si se toma en el instante inicial t=0 una amplitud "A" máxima (el ángulo vendría determinado por la función "cos" siendo δ nulo) o la posición de equilibrio A=0 (el ángulo vendría determinado por la función "sin" siendo δ nulo)?

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Añado: acabo de mirar correcciones de los exámenes de selectividad y en ejercicios donde interviene el M.A.S. lo resuelven usando la función "sin", pero añaden que también se admite la resolución del problema empleando "cos". A ver si alguien me aclara a qué vienen estas diferencias.

[Al2000]

Re: Función de la elongación para un movimiento armónico simple

No hay mayor diferencia. La única diferencia entre una función seno y una coseno en un defasaje de 90°: $\mathrm {sen} \, (\omega t + \delta ) = \cos (\omega t + \varphi )\,,\,\,\varphi = \delta + \frac \pi 2$

Saludos,

Al

[xXminombreXx]

Re: Función de la elongación para un movimiento armónico simple

Es lo que dice Al2000, si te fijas en las funciones sen x y cos x, son iguales desplazadas 90º:


Los ingleses son muy de usar lo contrario a lo que usa todo el mundo, yo siempre veo que se use el seno. Si usas el coseno, estás dándole un desfase de $\pi /2$, por lo que si en algún problema te dicen que la partícula empieza en el extremo, normalmente en los problemas de tirar de un muelle y luego soltarlo y dejar que oscile, si usas el coseno te ahorras ese desfase. Tampoco es que te ahorres horas de operaciones, simplemente te queda más reducido, pero es lo mismo.

Esta función: $x = A\cdot \sin (\omega t + \pi/2)$ representa el mismo movimiento que esta: $x = A\cdot \cos (\omega t)$

Un saludo.

[Cat_in_a_box]

Re: Función de la elongación para un movimiento armónico simple

Para rematar este hilo, te voy a mostrar cómo todas las expresiones son equivalentes en lo que respecta a las formas de escribir la ecuación de cualquier movimiento vibratorio armónico simple. Para ello, podemos distinguir dos tipos de oscilaciones: las que empiezan desde los extremos y aquellas desde la posición de equilibrio. A su vez, en ambos casos podemos hacer una segunda distinción si el movimiento es hacia elongaciones positivas o si es hacia elongaciones negativas. Verás cómo todas las expresiones son equivalentes entre sí:

- Oscilaciones desde los extremos:

> Desde el extremo derecho (hacia la izquierda)

$x(t)=A\cos(\omega t)$ o en función del seno: $x(t)=A\sin \left(\omega t+\dst\frac{\pi}{2}\right)$

> Desde el extremo izquierdo (hacia la derecha):

$x(t)=-A\cos(\omega t) \equiv x(t)=A\sin \left(\omega t -\dst\frac{\pi}{2}\right)$

-Oscilaciones desde la posición de equilibrio:

> Hacia elongaciones positivas (derecha):

$x(t)=A\sin(\omega t) \equiv x(t)=A\cos\left(\omega t -\dst\frac{\pi}{2}\right)$

> Hacia elongaciones negativas (izquierda):

$x(t)=-A\sin(\omega t) \equiv x(t)=A\cos\left(\omega t +\dst\frac{\pi}{2}\right)$

Como ves he considerado en todo momento que la máxima elongación positiva (+A) está a la derecha de la posición de equilibrio y la máxima elongación negativa (-A) se encuentra a la izquierda de ésta.

Observarás que las expresiones representan lo mismo, y nada, es cuestión de utilizar la que quieras o te venga mejor en cualquier momento; de todos modos, simplemente para hacer las conversiones pertinentes tienes que recordar que en trigonometría, haciendo uso de la circunferencia goniométrica pueden establecerse las identidades que necesitarías:

$\cos\theta=\sin\left(\theta+\dst\frac{\pi}{2}\right)$

$\sin\theta=\cos\left(\theta-\dst\frac{\pi}{2}\right)$

Y estas dos que en ciertos casos te pueden venir bien:

$\sin (\theta\pm \pi)=-\sin\theta$
$\cos(\theta \pm \pi)=-\cos\theta$

Saludos,

[danielrossonero]

Re: Función de la elongación para un movimiento armónico simple

Hola,

gracias por las respuestas, lo preguntaba porque había hecho un problema del Serway y según si se seleccionaba "cos" o "sin" en la función de la elongación daba resultado negativo o positivo, respectivamente, pero no podía ser negativo (era incongruente).

El problema en cuestión es éste.

"Un cuerpo de 50.0 g conectado a un resorte de constante de fuerza 35.0 N/m oscila sobre una superfície horizontal sin fricción, con una amplitud de 4.00 cm. Hállese (a) la energía total del sistema y (b) la rapidez del cuerpo cuando la posición es 1.00 cm."

Respuesta: 1,02 m/s (usando seno en la elongación, y con valor negativo usando coseno).

Si usara el coseno, ¿cómo podría dejarle claro al corrector que habría que cambiarle el signo al resultado puesto que no puede ser negativo?

Un saludo

[lucass]

Re: Función de la elongación para un movimiento armónico simple

Ambas respuestas en este problema no dependen de si se usa seno o coseno en la ecuación de movimiento, ya que de hecho se pueden resolver sin unas dicha ecuación.
Además supongo que cuando decís que "no puede ser negativo" hacés referencia al hecho de que, la rapidez, que es lo que pide el enunciado, es siempre positiva. Eso es correcto. Si pidieran "la velocidad del cuerpo cuando la posición es 1 cm" entonces habría que poner en todo caso +/- 1.02 m/s. (es decir, ambos signos, y esto no depende de si el movimiento es un seno o un coseno o algo intermedio)

[xXminombreXx]

Re: Función de la elongación para un movimiento armónico simple

Pero es que no sale negativo, a no ser que estés derivando mal la posición para sacar la velocidad y te comas el - del seno.

$$x = A\cos (\omega t + \frac{\pi }{2} )$$

$$v = -A\omega \sin(\omega t + \frac{\pi }{2} )$$

[Al2000]

Re: Función de la elongación para un movimiento armónico simple

Puede salir negativo, depende de como se plantee la ecuación. Fíjate que aquí usar seno o coseno o ángulos de fase no viene al caso pues no se ha establecido ninguna condición inicial. Es igualmente válido usar la función seno o coseno para la elongación sin ángulo de fase. En esas condiciones la velocidad daría negativa en los instantes iniciales, pero como bien apuntó lucass eso es irrelevante en este problema. La velocidad será negativa en un instante dado y positiva medio ciclo después. Si la pregunta fuese la velocidad, la respuesta debería incluir los dos signos, mientras que la rapidez será la misma pues es el módulo de la velocidad.

Saludos,

Al

[danielrossonero]

Re: Función de la elongación para un movimiento armónico simple

Pero es que no sale negativo, a no ser que estés derivando mal la posición para sacar la velocidad y te comas el - del seno.

$$x = A\cos (\omega t + \frac{\pi }{2} )$$

$$v = -A\omega \sin(\omega t + \frac{\pi }{2} )$$

Según el enunciado, no se contempla la constante de fase por lo que no se suman los 90º en el coseno.

Respecto a la observación de lucass y Al2000, pues no había caído en lo de la diferencia entre velocidad y rapidez. Teneis toda la razón.

Gracias por vuestras respuestas