Secundaria Ejercicio Serway sobre ondas senoidales

[danielrossonero]

Buenas tardes,

me estoy rompiendo bastante la cabeza con un ejercicio bastante simple (mucho...) del libro Serway sobre una onda senoidal.

El enunciado es éste:

"Una onda senoidal transversal en una cuerda tiene un periodo T=25.0 ms y se desplaza en la dirección x-negativa con una rapidez de 30.0 m/s. En t = 0, una partícula en la cuerda en x = 0 tiene una posición transversal de 2.00 cm y está viajando hacia abajo con una rapidez de 2.00 m/s. (a) ¿Cuál es la amplitud de la onda? (b) ¿Cuál es el ángulo inicial de fase? (c) ¿Cuál es la máxima rapidez transversal de la cuerda? (d) Escriba la función de onda para la onda."

Si tomamos el instante inicial t = 0 y la posición de origen x = 0, exigimos que se cumplan las siguientes ecuaciones:

A.sin [FONT=&quot]φ[/FONT]=0,02
A.cos [FONT=&quot]φ[/FONT]=7,96.10^-3

siendo "A" la amplitud y [FONT=&quot]"φ" la constante de fase.

Dividiendo ambas ecuaciones, y resolviendo la ecuación resultante da un valor [/FONT] [FONT=&quot]φ=1,19 (rad).
Si se sustituye el resultado para obtener la amplitud "A", resulta A=0,02 (m).

He buscado y rebuscado el error que tengo en el planteamiento de las ecuaciones pero no lo encuentro. Lo que está claro es que esa amplitud no es posible, puesto que coincide con la elongación en x = 0 y t = 0, y se deduce que no es el punto de elongación máxima.

¿Alguna ayuda, por favor?
[/FONT]

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Re: Ejercicio Serway sobre ondas senoidales

Hola danielrossonero,

No entiendo muy bien a qué te refieres con la segunda ecuación que has puesto, la que incluye el coseno, me imagino que ya has dividido por la frecuencia angular o algo así,¿verdad?. Pues bien, yo lo haría así:

Como es una onda senoidal su ecuación general será: $y_{(x,t)}=A\sin(\omega t + kx + \varphi)$
Pues bien, es en el instante t=0 y x=0, por lo que sustituyendo tienes que:

$y_{(x=0,t=0)}=A\sin \varphi$

Que es a lo que tú has llegado y como te dicen la posición transversal, pues nada, la misma ecuación que tú has puesto:

$A\sin \varphi = 0.02$

Por otro lado calculas la velocidad derivando, obteniendo:

$v_{(x,t)}=\dst\frac{dy}{dt}=\dst\frac{d}{dt}\left[A\sin(\omega t + kx + \varphi)\right]=A\omega \cos(\omega t + kx + \varphi)$

$v_{(x=0,t=0)}=A\omega\cos\varphi$

Puedes por ejemplo despejar la amplitud en la primera ecuación que tienes, quedándote:

$A=\dst\frac{0.02}{\sin\varphi}$

Y sustituir en la segundo ecuación:

$A\omega\cos\varphi=2, \quad A=\dst\frac{0.02}{\sin\varphi}\Rightarrow \dst\frac{0.02}{\sin\varphi}\cos\varphi \omega= 2 \Rightarrow 0.02\cot \varphi=2$

Por tanto:

$\cot\varphi=\dst\frac{2}{0.02\omega}=\dst\frac{2}{0.02\dst\frac{2\pi}{T}}$

$\cot\varphi=\dst\frac{1}{\tan \varphi}\Rightarrow \dst\frac{1}{\tan \varphi}= \dst\frac{2}{0.02\dst\frac{2\pi}{T}}$

Por tanto, la tangente será:

$\tan \varphi=\dst\frac{0.02\dst\frac{2\pi}{T}}{2}\Rightarrow \varphi=\tan^{-1}\left(\dst\frac{0.02\dst\frac{2\pi}{T}}{2}\right)$

Con este valor ya sustituyes y sacas la amplitud y el resto del ejercicio creo que es bastante fácil y es típico de ondas, con la velocidad de propagación sacas la longitud de onda, con el período y esta última el número de onda, etc etc. Si tienes alguna duda pregunta


Saludos,

[Cat_in_a_box]

Re: Ejercicio Serway sobre ondas senoidales

Estoy viendo que el resultado al que llegas es el mismo que al que llego yo, pero sustituyendo la amplitud te da A=0.0215 m, algo mayor que los 0.02m. Si no es así no encuentro yo ahora mismo el error

[danielrossonero]

Re: Ejercicio Serway sobre ondas senoidales

Ahora he repasado el proceso que sigues y me he dado cuenta que puse la ecuación genérica de la elongación para la onda al inicio del problema para el sentido positivo del eje de abscisas. Esto es,

y(x,t) = A.sin(kx- [FONT=&quot]ωt+[/FONT] [FONT=&quot]φ[/FONT])

Haciendo la derivada parcial respecto a "t" obtenía la expresión para la velocidad con un signo negativo.

v(x,t) = -A[FONT=&quot]ω.cos[/FONT](kx- [FONT=&quot]ωt+[/FONT] [FONT=&quot]φ[/FONT])

Luego había cambiado el signo para el otro apartado que pide la función, aunque no me había fijado en la parte en que hice la derivada y no me cuadraba nada, como habéis visto.

Gracias

[danielrossonero]

Re: Ejercicio Serway sobre ondas senoidales

"Puedes por ejemplo despejar la amplitud en la primera ecuación que tienes, quedándote:



Y sustituir en la segundo ecuación:

A[FONT=&quot]ω.cos[/FONT] [FONT=&quot]φ=2"[/FONT]

¿Cómo es que la función de la velocidad de la onda la igualas a 2 y no a -2 si se mueve hacia abajo? Y aún así, si se iguala a "-2" la amplitud acaba saliendo negativa, por lo que parece que se debe igualar a "2", pero no entiendo por qué, si no es la rapidez de la onda...

Y sí, aunque no tenga las soluciones, parece que da esa amplitud realmente, puesto que el periodo de la onda es de 25ms (cosa que había pasado por alto bastante) y el ángulo inicial de fase [FONT=&quot]φ, [/FONT]para hacerse una idea en lo que es el sistema sexagesimal, sería de casi 70º, por lo que está prácticamente en el punto de máxima elongación en t = 0 y x = 0.