Secundaria Oscilaciones: Escribir la ecuacion diferencial del movimiento (Ejercicio-duda)

[hector0]

hola a todos, perdon que no mande algo escrito y lo hago en foto (quizas el ejercicio le sirva a alguien)

Mi duda esta en la parte que remarque con rojo, eso de $\cos \theta >$ 15º $\Rightarrow \cos \theta \approx$ 1

Eso sale por trigonometria? . En otro ejercicio tengo algo parecido pero el angulo que se forma cuando baja la masa sujeta al resorte es de 8º.. entonces no estaria bien planteado eso.

Espero que puedan entenderme y ayudarme. desde ya gracias!

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[Becquerel]

Re: Oscilaciones: Escribir la ecuacion diferencial del movimiento (Ejercicio-duda)

Creo que el signo de la desigualdad lo tienes al revés.

Sería: $\cos\theta < 15 \Rightarrow \cos\theta \approx 1$

Y por otro lado: $\sin\theta < 15 \Rightarrow \sin\theta \approx \theta$

Esto lo puedes ver haciendo el desarrollo en Serie de Taylor de las funciones seno y coseno (no tiene nada que ver con la trigonometría) y quedarte en primer orden. Es decir,

$\sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ...$
$\cos x = 1 - x^2/2 + x^4/4! - ...$

Si te quedas en primer orden (ángulos pequeños), el seno de un ángulo pequeño se puede aproximar como simplemente el ángulo y el coseno como uno.

Un saludo!

[Artos]

Re: Oscilaciones: Escribir la ecuacion diferencial del movimiento (Ejercicio-duda)

ninguna de las dos afirmaciones puede ser: recuerden que $Cos\theta$ esta entre 1 y -1.

ahora bien, si $\theta \leqslant 15$ entonces $Cos\theta \geqslant 0.966$, (Receurden que la funcion coseno es decreciente entre 0 y 180, asique se cambia la desigualdad) es decir, Casi 1.

por otro lado: si $\theta \leqslant \frac{1}{12}\pi$ (ojo que aca el angulo va en radianes, esto es 15º) entonces $Sen \theta \approx \theta$ (siempre hablando en radianes, porque el seno NUNCA puede valer mas de 1)

[Brunow]

Re: Oscilaciones: Escribir la ecuacion diferencial del movimiento (Ejercicio-duda)

Bequerel esta en lo cierto, para angulos pequeños (un profesor en fisica me dijo que hasta 15 grados la aproximacion ofrece buenos resultados) la aproximacion por polinomios de taylor, truncada a orden uno es suficiente. eso que dijo Artos no me quedo muy claro, pero para hacer el desarrollo de taylor formal, se deben conocer las derivadas del seno y coseno alrededor del cero y estas derivadas son faciles de calcular solo si el angulo se expresa en radianes. lo que pasa es que es mas intuitivo decir 15° que $\frac{\pi}{12 }$

[Artos]

Re: Oscilaciones: Escribir la ecuacion diferencial del movimiento (Ejercicio-duda)

Bequerel esta en lo cierto, para angulos pequeños (un profesor en fisica me dijo que hasta 15 grados la aproximacion ofrece buenos resultados) la aproximacion por polinomios de taylor, truncada a orden uno es suficiente. eso que dijo Artos no me quedo muy claro, pero para hacer el desarrollo de taylor formal, se deben conocer las derivadas del seno y coseno alrededor del cero y estas derivadas son faciles de calcular solo si el angulo se expresa en radianes. lo que pasa es que es mas intuitivo decir 15° que $\frac{\pi}{12 }$

Lo que digo, es que la aproximacion es valida solo si estas usando angulos en radianes.

Las funciones seno y coseno son ciclicas acotadas, nunca valen mas de 1 ni menos de -1, por eso no se puede aproximar un angulo sexagecimal, pero si se puede con un angulo en radianes.

por otro lado, la serie de tailor del seno y del coseno son sencillas de hacer (la derivada del seno es el coseno, y la del coseno es -seno), siempre y cuando se hagan alrededor del 0, del Pi/2 (90º), Pi(180º), 3Pi/2(270º), 2Pi (360º) Etc, que son puntos caracteristicos donde el seno y el coseno se puede saber con exactitud.
por eso, si queremos aproximar Seno 15º, tendriamos que hacer la serie de taylor del Seno alrededor del 0º, que si se hace, el error de tomar seno x como x (en radianes, por lo que ya les comente) es bastante bajo. algo parecido pasa con el coseno alrededor del 0, solo que se puede aproximar a 1