1r ciclo Dado en un embudo

[josema19]

Hola tengo el siguiente problema: Un dado muy pequeño de masa m se coloca en el interior de un embudo que gira alrededor de un eje vertical con una velocidad (constante en módulo) de $w$ vueltas/s, la pared del embudo forma un angulo $\alpha$ con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento estático entre el embudo y el dado es $\mu_s$ y el centro del dado esta a una distància R del eje de rotación, cuales son los valores máximo y mínimo de $w$ para lo cuales el dado no se mueve respecto el embudo?.
Mi planteamiento es el siguiente: situando los ejes tales que estos queda perpendiculares a la pared del embudo y a la horizontal, cuando se supera la velocidad angular máxima el dado ascendera hacia la parte superior del embudo luego las ecuaciones que me quedan son:
(Fc= fuerza centripeta)
Eje x:
$P_x+F_f+Fc_x=0$------>$mg\sin (\alpha )+\mu _sN+w^2R\sin (\alpha )m=0$
Eje y:
$N+Fc_y-P_y=0$------>$N+w^2R\cos (\alpha )m-mg\cos (\alpha )=0$
$N=mg\cos (\alpha )-w^2R\cos (\alpha )m$
Substituyendo $N$ en la primera queda $w^2R(\sin (\alpha )-\mu _s\cos (\alpha ))+g(\sin (\alpha )+\mu _s\cos (\alpha ))=0$ luego $w^2=\frac{-g(\sin(\alpha )+\mu _s\cos (\alpha ))}{R(\sin (\alpha )-\mu _s\cos (\alpha ))}$
y el resultado que deberia dar es:$w^2=\frac{g(\sin(\alpha )+\mu _s\cos (\alpha ))}{R(\cos(\alpha )-\mu _s\sin(\alpha ))}$ lo mismo me sucede para la velocidad mínima, aparte de este error que he debido cometer en algún sitio, tengo la duda de cual es la fuerza que cuando la velocidad maxima es rebasada hace que el bloque ascienda por que en el diagrama de fuerzas no veo ninguna fuerza tangencial que haga ascender el bloque suponiendo que el bloque asciende girando a velocidad angular constante, y otra duda es por que se presupone que el bloque asciende o desciende es decir porque no podria moverse siguiendo la diagonal digo se presupone en el diagrama de fuerzas lo único que copie de ese ejercicio colocan la fuerza de fricción en diferentes sentido según si se calcula la maxima o la mínima. agradezco cualquier respuesta a cualquiera de mis dudas de antemano.