1r ciclo ¿Cómo puedo justificar que es una onda?

[laj]

Hola a todos.
Tengo una duda sobre el siguiente ejercicio:




Os comento hasta donde he llegado yo. En primer lugar es una onda puesto que se trata de una pertubación que se propaga en el tiempo y en el espacio (ya que depende de x y de t). Lo de la forma del pulso no estoy muy segura, pero creo que sería algo así:




Supongo que el sentido del pulso será de izquierda a derecha puesto que tiene un signo menos delante de t y uno positivo delante de x.

Ahora bien, os pregunto:
¿Está bien lo que he pensado?
¿Cual es la amplitud de la onda?
¿Cómo puedo calcular la distribución de velocidades transversales?

Un saludo y mil gracias.

[Cat_in_a_box]

Re: ¿Cómo puedo justificar que es una onda?

Hola laj,

Bueno, creo que sí que está bien lo que has pensado, al menos para justificar que se trata de una onda. Una explicación algo más detallada podría ser analizando el movimiento del pulso que se transmite por la cuerda tensa, tal y como te expone el problema. Como observas en la representación que has hecho, no he comprobado si está bien, la cuerda presenta una ondulación en una zona, mientras que el resto de la cuerda permanece recta. En consecuencia, los valores de $\psi$ dependen de los valores de $x$; pero además, la onda avanza, por lo que dichos valores de $\psi$ también serán función del tiempo. Para resumir, y es básicamente lo que has dicho tú, te dan una expresión matemática que representa la propagación de una onda y que es una función de la coordenada de la dirección de avance y del tiempo, o lo que es lo mismo, una función de onda. Esta es:

$\psi _{(x,t)}=\dst\frac{A^3_1}{A^2_1+(A_2x-A_3t)^2}$

Para la amplitud del pulso, sólo tienes que tener en cuenta lo siguiente: puesto que el paréntesis del denominador aparece elevado al cuadrado, los valores no podrán ser nunca negativos, ¿verdad?. Consecuentemente, el máximo valor posible de $\psi$ correspondiente a la amplitud del pulso, tendrá lugar cuando el valor del paréntesis sea cero, es decir, mínimo valor posible del denominador. En este caso, te quedaría:

$\psi _{maxima}=\dst\frac{A^3_1}{A^2_1}=\boxed{A_1}$

Por tanto, la amplitud del pulso sería $A_1$, que es una constante positiva como te dicen en el enunciado.

Para la velocidad no tienes más que ver el factor que multiplica al tiempo (recuerda que la función que representa una onda cualquiera que se desplaza en la dirección del eje X tiene la forma general $y=f(x\pm vt)$) en la expresión que es la velocidad de propagación. En este caso será $\boxed{v=A_3 ms^{-1}}$

Dado que el signo es negativo en este caso, la onda se propaga hacia la derecha, en el sentido positivo de las x, como habías dicho tú.

Para la velocidad de los puntos podrías derivar la expresión de propagación de la onda y dar luego el valor 0 al tiempo, si bien ahora no tengo mucho tiempo y no sé muy bien esta respuesta, pero de lo que estoy seguro es que habrá mucha gente aquí que sepa reponderte mejor que yo.

Saludos,

[laj]

Re: ¿Cómo puedo justificar que es una onda?

Ahora lo veo todo mucho más claro. Muchas gracias por tu respuesta, sólo hay una cosa no acabo de entender, ¿la velocidad transversal es en realidad la velocidad a la que se propaga la onda o la velocidad de cada uno de los puntos?

[Entro]

Re: ¿Cómo puedo justificar que es una onda?

Para verificar si es una onda o no, ¿no será lo mejor ver si satisface la ecuación de una onda?

[laj]

Re: ¿Cómo puedo justificar que es una onda?

Para verificar si es una onda o no, ¿no será lo mejor ver si satisface la ecuación de una onda?

¿Te refieres a la ecuación diferencial de segundo orden o a comprobar que la función sea del tipo
g(t- x/c)?
De todas formas, ¿siempre que se propague en el tiempo y el espacio es una onda no? ¿No podemos decir que como esta lo cumple, es una onda y nos quitamos de líos?

[Cat_in_a_box]

Re: ¿Cómo puedo justificar que es una onda?

Hola de nuevo laj,

Creo que Entro está haciendo referencia a la ecuación general de una onda , es decir, creo que habría que comprobar que:

$\dst\frac{\partial ^2\psi}{\partial t^2}=c^2\dst\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}$

Ecuación que responde, en general, a la propagación de una perturbación cualquiera, con una velocidad c, de modo que no saquemos conclusiones precipitadas y fundamentemos bien lo que estamos afirmando o justificando. Por tanto tendrías que comprobar que:

$\dst\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(\dst\frac{A^3_1}{A^2_1+(A_2x+A_3t)^2}\right)=A^2_3\cdot \dst\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\dst\frac{A^3_1}{A^2_1+(A_2x+A_3t)^2}\right)$

O al menos eso interpreto yo de lo que ha dicho Entro.Cuando te dice velocidad transversal de los puntos entiendo lo que te he expuesto en el primer post y no la velocidad de propagación de la onda, pero de esto no estoy seguro.

Saludos,

[lucass]

Re: ¿Cómo puedo justificar que es una onda?

Lo mejor que se puede hacer para ver si es una onda o no es ver si satisface la ecuación de onda, como dice Entro. (La ecuacion que puso Cat in a box)
De todas formas la ec. se obtiene del hecho de reconocer que una onda es una función de dos variables (x y t) cuyo núcleo funcional tiene la forma $\dst x\pm vt$ o $\dst t\pm \frac {x}{v}$.
Así que yo diría que basta con que saques factor común $A_2$ en el paréntesis de abajo, para que te quede una expresión de ese tipo. O sea:
$\dst \psi _{(x,t)}=\dst\frac{A^3_1}{A^2_1+(A_2x-A_3t)^2} = \dst\frac{A^3_1}{A^2_1+(A_2(x-\frac {A_3}{A_2}t))^2}$ y entonces $\dst \psi _{(x,t)}=f(x-vt)$
Haciendo eso ves además la velocidad de propagación de la onda que es claramente $\dst \frac {A_3}{A_2}$

La velocidad transversal de los puntos es efectivamente lo que ha dicho Cat in a box. Al derivar la expresión que representa la perturbación respecto de t, se obtiene $\dst v_p (x,t) = \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t}$ que da la velocidad del punto x de la cuerda en un cierto instante t. En tu caso te piden ver cómo es $\dst v_p(x,0)$
Saludos