1r ciclo Deducción de Ecuación de Onda sin aproximar pequeñas oscilaciones

[M_Odes]

Estaba leyendo un libro llamado Mathematical Analisys of Physical Problems de un Philip Wallace y en el primer capítulo deducen una ecuación de onda transversal 1-D para una cuerda de densidad $\rho$ sometida a una tensión $T$
hay algo que me deja perplejo y aun no logro colegir.

El libro considera una sección de cuerda entre dos puntos $x$ y $x+\Delta x$ y además dice que $y$ representa la amplitud de oscilación. esto es, $y(x,t)$ corresponde a la desviación del punto x con respecto a su punto de equilibrio en el instante t.
Luego, dice lo siguiente

The only significant forces acting on this portion of string are assumed to be the forces of tension on the two ends. since the slope of the string at any point is $\dst{\frac{\partial y}{\partial x}}$ the component of the tension in the $y$ direction at the right-hand end is

$$T\left[ \frac{\frac{\partial y}{\partial x} }{\sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x} \right)^{2}} }\right]_{x+\Delta x}$$

Lo que traduce

Las únicas fuerzas significativas que actúan en esta porción de la cuerda($(x,x+\Delta x)$) se supone que son las fuerzas de tensión en los dos extremos($x$ y $x+\Delta x$). ya que la pendiente de la cuerda en cualquier punto es $\dst{\frac{\partial y}{\partial x}}$ la componente de tensión en la dirección $y$ en el extremo derecho es

$$T\left[ \frac{\frac{\partial y}{\partial x} }{\sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x} \right)^{2}} }\right]_{x+\Delta x}$$

Ocurre igual para el extremo izquiero pero se evalua en $x$

En este punto es donde me quedo atascado y sin comprender bien si se trata de una normalización en la longitud ($\sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x} \right)^{2}}$) para independizar la fuerza con respecto al ancho entre $x$ y $x+\Delta x$, o si tiene alguna otra razón, ustedes que opinan?

la PDE a la que llega finalmente es:

$$\rho \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} =\frac{\partial }{\partial x}\left( T(x)\left[ \frac{\frac{\partial y}{\partial x} }{\sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x} \right)^{2}} }\right]\right)$$

para el caso en que la tensión depende de $x$

Cuando se consideran pequeñas oscilaciones $\dst{\frac{\partial y}{\partial x}}\ll 1$ la ecuación de onda resultante es la habitual.

[polonio]

Re: Deducción de Ecuación de Onda sin aproximar pequeñas oscilaciones

No es sino pura trigonometría.

Si llamamos $\theta$ al ángulo que forma la cuerda (y, por tanto, la tensión) con la horizontal, la componente vertical de la tensión será $T_y=T \sin(\theta)$.

Ahora, si en ese extremo de la cuerda tomamos una componente horizontal $x$, la componente vertical será $\dst x\frac{\partial y}{\partial x}$. Por tanto:

$$\dst \sin (\theta)=\frac{x\frac{\partial y}{\partial x}}{\sqrt{x^2 +\left( x\frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 }}=\frac{\frac{\partial y}{\partial x}}{\sqrt{1 +\left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 }}$$