1r ciclo nuevo problemilla

[yas]

Dos masas m y 3m deslizan por dos planos inclinados sin fricción, como indica la figura, desde una altura de un metro. calcular el vector posición y el vector velocidad del centro de masas en cualquier tiempo cuando las masas estás deslizando (las masas se sueltan en el mismo instante).

nota: los planos están ubicados de tal manera que forman una M mayúscula, compartiendo de esta forma un vértice. Las medidas de los ángulos que comparten este vértice es de 30º. si no me entienden, ahí mando un dibujo que ilustra la situación del problema.

GRACIAS

[Al2000]

Re: nuevo problemilla

Te doy los lineamientos generales, tu haz los cálculos y las simplificaciones.

La aceleración con la que cae un cuerpo no depende de su masa y los planos inclinados tienen el mismo ángulo, de manera que las masas tendrán la misma coordenada $y$ en todo instante.

Haz tu diagrama de fuerzas y comprueba que la aceleración de cada cuerpo es $g \, \mathrm {sen} \, \theta$ a lo largo del plano inclinado. Descomponiendo esta aceleración en sus componentes $xy$ tienes

$$a_x = g \, \mathrm {sen} \, \theta \cos \theta \,,\quad a_y = g \, \mathrm {sen}^2 \, \theta$$

donde la aceleración en $x$ de la masa 1 (izquierda) es positiva y la de la masa 2 (derecha) es negativa.

Las ecuaciones de movimiento son

$$x_1 = x_{01} + \frac 1 2 a_x t^2$$

$$x_2 = x_{02} - \frac 1 2 a_x t^2$$

$$y_1 = y_2 = y = y_0 - \frac 1 2 a_y t^2$$

No dices nada de donde se debe establecer el origen de coordenadas. Si pones en origen en el vértice en donde los planos se unen, tendrías las coordenadas iniciales

$$x_{01} = - h \cot \theta \,, \quad x_{02} = h \cot \theta \,,\quad y_0 = h$$

Con las coordenadas de cada partícula puedes calcular las coordenadas del centro de masa:

$$x_\text {CM} = \frac {m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\,, \quad y_\text {CM} = y$$

Los vectores de posición y velocidad del centro de masa los determinas inmediatamente:

$$\boldsymbol r_\text {CM} = x_\text {CM}\,\boldsymbol i + y_\text {CM}\, \boldsymbol j$$

$$\boldsymbol v_\text {CM} = \frac d {dt} \boldsymbol r_\text {CM}$$

Saludos,

Al

[yas]

Re: nuevo problemilla

Al2000, me puedes hacer le favor de explicarme detalladamente ¿como hallaste las componentes x y y de la aceleración? Gracias

[GNzcuber]

Re: nuevo problemilla

Hola yas,

¿Has intentado hacer el diagrama vectorial correspondiente?

Si lo haces, te darás cuenta, si es que ya no lo sabes, que sobre el plano inclinado tendrás dos componentes debida al peso. Una de ellas se cancela con la normal al plano ($g\cos(\theta)$), y la otra es paralela al plano inclinado y la que hace que se deslice a lo largo de éste, esta aceleración es la proyección de la aceleración gravitatoria sobre el eje paralelo al plano inclinado, $a=g\sin(\theta)$.

Ahora que vemos que la única componente que hace que acelerar la masa es la correspondiente a la última expresión, hallemos lo que queremos. Pues, como hemos dicho esta aceleración tiene una dirección oblicua (la superficie del plano inclinado) respecto a la horizontal y vertical de tu dibujo. Simplemnte halla las componentes horizontal y vertical, que es la proyección de $\bold{a}$ sobre $x$ e $y$.

Y con ello obtendrás: $\bold{a_x}=\bold{a}\cos(\theta)=\bold{g}\sin(\theta)\cos(\theta)$, y $\bold{a_y}=\bold{a}\sin(\theta)=\bold{g}\sin(\theta)\sin(\theta)=\bold{g}\sin^2(\theta)$.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: nuevo problemilla

También es posible determinar la aceleración trabajando directamente en un sistema XY que tenga los ejes en la posición convencional horizontal-vertical. En ese caso la normal tiene componentes tanto en X como en Y. Sabiendo que la normal tiene valor $N = m g \cos \theta$ y que forma un ángulo $\theta$ con el eje Y, entonces la aceleración en X es $\dst a_x = \frac {N \, \mathrm {sen} \, \theta} m = g \, \mathrm {sen} \, \theta \cos \theta$ y en Y es $\dst a_y = \frac {N \cos \theta - m g} m = (\cos ^2 \theta - 1) g = - g \, \mathrm {sen}^2 \, \theta$. Mas largo que descomponer dos veces $g$.

Saludos,

Al