Secundaria Problema sobre ecuacion de segundo grado

[Infinitrix]

Hola, porfavor, necesito una ayuda con el siguiente problema:

Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240 Km. Si la velocidad hubiera sido 20 Km por hora más que la que llevaba hubiera tardado 2 horas menos en recorrer dicha distancia. ¿En qué tiempo recorrió los 240 Km?

[angel relativamente]

Re: Problema sobre ecuacion de segundo grado

Hola Infinitrix
El problema es sencillito, ahí va:
Ahí va:

Llamemos $s$ a la distancia recorrida, es decir: $s=240\; km$
Llamemos $v_1$ a la velocidad que lleva (la cual desconocemos), y $v_2$ a la velocidad hipotética que te dicen. Tenemos la relación: $v_2=v_1+20$
Llamemos $t_1$ al tiempo empleado en recorrer los 240km (el que te piden) y $t_2$ al tiempo hipotético. $t_2=t_1 -2$

Ya tenemos declaradas las variables y sus relaciones. Ahora como ya sabrás el espacio es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo:

$$240=v_1 \cdot t_1$$

$$240=v_2 \cdot t_2$$

Sutituyendo nuestras identidades en la ecuación de debajo:

$$240=v_1 \cdot t_1$$

$$240= (v_1+20)\cdot (t_1-2)$$

Vamos a resolver ese sistema paso a paso:

En primer lugar, operamos la ecuación de abajo:

$$240=v_1 \cdot t_1$$

$$240= v_1\cdot t_1 -2v_1 +20t_1 -40$$

Ahora, en la ecuación de arriba despejamos la velocidad ($v_1$) :

$$v_1=\dst \frac{240}{t_1}$$

$$240= v_1\cdot t_1 -2v_1 +20t_1 -40$$

Ahora la ecuación de arriba la sustituimos en la de abajo (método de sustitución):

$$240=\left( \dst \frac{240}{t_1} \right) \cdot t_1 -2\left( \dst \frac{240}{t_1} \right) +20t_1 -40$$

Operamos:

$$280=240 -\dst \frac{480}{t_1} +20t_1$$

Volvemos a operar:

$$40=20t_1 -\dst \frac{480}{t_1}$$

Ahora multiplicamos ambos miembros por $t_1$ para eliminar denominadores:

$$40t_1=20{t_1}^2 -480$$

Colocando convenientemente:

$$20{t_1}^2 -40t_1-480=0$$

Si simplificamos dividiendo entre 20:

$${t_1}^2 -2t_1-24=0$$

Ahora la despejamos como una ecuación de 2º grado, con su fórmula:

$$t_1=\dst \frac{2\pm \sqrt{(-2)^2 -4\cdot 1 \cdot (-24)}}{2\cdot 1}$$

$$t_1=\dst \frac{2\pm\sqrt{4+96}}{2}=\dst \frac{2\pm\sqrt{100}}{2}=\dst \frac{2\pm10}{2}$$

Entonces nos quedarían dos soluciones:

$$t_1=\dst \frac{12}{2}=6 \; h$$

$$t_1=\dst \frac{-8}{2}=-4 \; h$$

Pero puesto que por definición el tiempo no puede ser negativo, la solución correcta es la primera. Tardará 6 horas

Cualquier duda comentamelo.

¡Un saludo! Ángel

[Paladino]

una más...

[FONT=Times New Roman]Veamos... sé que ya te han dado una solución pero quisiera intentar también.
Sabemos que recorrió 240 km con cierta velocidad v durante un tiempo t:

240 = vt[/FONT][FONT=Times New Roman]

por otro lado, si su velocidad hubiese sido 20 km/h más ([/FONT][FONT=Times New Roman]v + 20), le hubiese tomado 2 horas menos (t - 2) recorrer la misma distancia:
240 = (v + 20)(t - 2)

ahora sólo despejemos v de la primera ecuación, v = 240/t; sustituyámosla en la segunda ecuación y operemos:[/FONT][FONT=Times New Roman]

240 = (240/t + 20)(t - 2) [/FONT] [FONT=Times New Roman]= 240 - 480/t + 20t - 40

20t - 40 - 480/t = 0

20t^2 - 40t - 480 = 0[/FONT][FONT=Times New Roman]

t^2 - 2t - 24 = (t - 6)(t + 4) = 0[/FONT][FONT=Times New Roman]

t = 6 ó t = -4
Tú sabes cual solución tomar... Saludos Infinitrix, yo también soy nube molecular ligera.
Disculpa, aún no sé usar latex.[/FONT]