Secundaria Duda de mecanica

[Resh]

Si lanzo un objeto hacia arriba verticalmente y en un lugar donde hay aire y gravedad que tiempo será mayor el de subida o el de bajada.
Se la solución pero no lo llego a entender.

¡Saludos!

[angel relativamente]

Re: Duda de mecanica

¿Cual es la solución que sabes y qué no entiendes? :P

¡Un saludo!

[GNzcuber]

Re: Duda de mecanica

Cuando lanzas un objeto hacia arriba en presencia de gravedad (donde consideraremos que se eleva el objeto un altura $h$ no tan grande como para que el valor de $g$ sea constante) y de aire (supondremos que en todo el trayecto hay la misma densidad de aire), éste al subir cumple con:

$$\displaystyle - mg - bv* = ma \Leftrightarrow \frac{\dd v}{\dd t} = -\left(g+\frac{b}{m}v\right)$$

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \int_0^v \dfrac{\dd v'}{g+\frac{b}{m}v'} &= -\int_0^t \dd t' \\<br /> \frac{m}{b}\ln\left(1+\frac{b}{mg}v\right) &= -t \\<br /> \frac{\dd y}{\dd t} = v &= \frac{mg}{b}\left(e^{-\frac{b}{m}t}-1\right) \\<br /> \int_0^h \dd y &= \frac{mg}{b}\int_0^t\left(e^{-\frac{b}{m}t'}-1\right)\dd t' \\<br /> h &= \frac{mg}{b}\left[-\frac{m}{b}e^{-\frac{b}{m}t'}-t'\right]_0^t \\<br /> h &= \frac{mg}{b}\left[\frac{m}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t}\right)-t\right]<br /> \end{aligned}$$

*He considerado que la velocidad no es demasiado alta como para que la relación entre rozamiento y velocidad sea lineal.

A partir de aquí se debería despejar el tiempo, yo estoy bastante seguro que es imposible hacerlo y deberíamos recurrir a aproximaciones polinómicas (Taylor).

Para la bajada:

$$\displaystyle -mg+bv = ma \Leftrightarrow \frac{\dd v}{\dd t} = \frac{b}{m}v-g$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Nuevamente no es posible despejar la $t$, pero como $h$ es la misma en ambos casos podemos igualar las ecuaciones anteriores, si llamamos $s\equiv t_1-t_2$, donde $t_1$ es el tiempo de subida y $t_2$ es el tiempo de bajada, y $r\equiv t_1+t_2$:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \frac{m}{b}\left(e^{\frac{b}{m}t_2}-1\right)-t_2 &= \frac{m}{b}\left(1-e^{-\frac{b}{m}t_1}\right)-t_1 \\<br /> t_1-t_2 &= \frac{m}{b}\left(2-e^{-\frac{b}{m}t_1}-e^{\frac{b}{m}t_2}\right) \\<br /> t_1-t_2 &= \frac{m}{b}\left[2-e^{\frac{b}{m}t_2}\left(1+e^{-\frac{b}{m}(t_1+t_2)}\right)\right] \\<br /> s &= \frac{m}{b}\left[2-e^{\frac{b}{2m}(r-s)}\left(1+e^{-\frac{b}{m}r}\right)\right]<br /> \end{aligned}$$

... no veo que vaya por buen camino. Me rindo, estoy con Ángel, "¿Cuál es la solución y qué no entiendes?".

De todas maneras creo que tarda más en bajar, las ecuaciones del movimiento, en la subida hay dos fuerzas con el mismo sentido y dirección por lo que lo hace frenarse más rápido, pero al bajar éstas son de sentidos opuestos con lo que su aceleración sería menor tardando más tiempo en recorrer $h$.

¡Saludos!

[Resh]

Re: Duda de mecanica

¡Gracias GNzcuber!, la verdad es que lo has intuido bién, le cuesta más caer. Voy a copiar la solución y subrallar aquellas cosas que no entiendo haber si me hechais una mano, o dos... Lo han resuelto por energias.
Haber...

Debido a la resistencia del aire la energía cinética de la pelota durante el descenso es menor que durante la subida. La diferencia entre estos valores de energía es igual al trabajo de las fuerzas de resistencia del aire. A cualquier altura la velocidad de la pelota durante la subida es mayor que durante el descenso. Claro está que la velocidad media de movimiento de la pelota hacia arriba es mayor que la velocidad media de su movimiento hacia abajo. Por ello el tiempo de subida de la pelota es menor que el tiempo de caída.

¡Saludos!

[Cat_in_a_box]

Re: Duda de mecanica

Hola,

Si lanzo un objeto hacia arriba verticalmente y en un lugar donde hay aire y gravedad que tiempo será mayor el de subida o el de bajada.

Bueno, después de haberme abrumado un tanto el post del amigo GNzcuber, creo que podemos llegar a la solución de este problema de una manera bastante sencilla y utilizando las ecuaciones que todos sabemos de cinemática sin ver ni una integral.

En primer lugar, cuando lanzamos el objeto hacia arriba, sobre él actúan dos fuerzas, la de la gravedad y la de rozamiento. Estas dos fuerzas actúan obviamente hacia abajo por lo que el objeto empieza a decelerar con una aceleración media mayor a la causada por la fuerza de la gravedad. Es decir:

$$a_s > g$$

Siendo $a_s$ la aceleración que adquiere el objeto al subir y $g$ la aceleración ocasionada por la fuerza gravitatoria.

Por otro lado, al tratarse de un tiro vertical, tendremos que lanzar el objeto con una velocidad inicial, ¿verdad? De igual modo, el objeto ascenderá hasta una altura máxima en un tiempo determinado, donde alcanzará una velocidad final nula. Por tanto, echando mano de las ecuaciones de la cinemática, podemos escribir que:

$$v^2_f=v^2_0-2a_sh,\quad v_f=0 \Rightarrow v^2_0-2a_sh=0$$

$$v_f=v_0-a_st_s,\quad v_f=0 \Rightarrow v_0-a_st_s=0$$

Gracias a estas dos ecuaciones, podemos eliminar tranquilamente la velocidad inicial, obteniendo la siguiente expresión para el tiempo de subida:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\boxed{t_s=\dst\sqrt{\dst\frac{2h}{a_s}}}$$

Ale, ya tenemos el tiempo que tardaría en subir. Entonces, analicemos ahora qué pasará cuando el objeto esté bajando. Cuando esto ocurre, la fuerza de rozamiento debida al aire actúa hacia arriba mientras que la ocasionada por la gravedad hacia abajo, como siempre. Esto nos lleva a la conclusión de que la aceleración con la que baja la bola es menor a la de la gravedad, es decir:

$$a_b < g$$

Una vez que empieza a descender, se trata de un movimiento de caída libre, por lo que le lleva un determinado tiempo en llegar al suelo partiendo de la altura $h$ máxima de antes. Como es un movimiento uniformemente acelerado, su ecuación será:

$$h=\dst\frac{1}{2}a_bt^2_b$$

Donde $a_b, t_b$ son la aceleración y el tiempo de bajada respectivamente. Despejando el tiempo de bajada, tenemos que:

$$\boxed{t_b=\sqrt{\dst\frac{2h}{a_b}}}$$

Fíjate en la similitud de las expresiones del tiempo de subida y de bajada. Pues nada, comparamos estas expresiones dividiendo miembro a miembro para ''eliminar'' el término que representa la altura máxima alcanzada. Por tanto, tenemos que:

$$\boxed{\dst\frac{t_s}{t_b}=\sqrt{\dst\frac{a_b}{a_s}}}$$

Ahora lo tienes muy fácil fijándote en todo lo anterior. Hemos dicho que la aceleración de ascenso del objeto era mayor, ya que las dos fuerzas (gravedad y rozamiento) actuaban en el mismo sentido, mientras que cuando el objeto descendía la aceleración media era menor debido al sentido diferente de la fuerza de rozamiento. Por tanto, tenemos que:

$$a_s>a_b \Rightarrow \boxed{\boxed{\bold{t_b>t_s}}}$$

Es decir, el tiempo que tarda en bajar el objeto es mayor que el que tarda en subir, siempre que contemos la fuerza de rozamiento y esas cosas.

Saludos,

[Cat_in_a_box]

Re: Duda de mecanica

Perdona Resh, no había visto tu último post:

Debido a la resistencia del aire la energía cinética de la pelota durante el descenso es menor que durante la subida. La diferencia entre estos valores de energía es igual al trabajo de las fuerzas de resistencia del aire. A cualquier altura la velocidad de la pelota durante la subida es mayor que durante el descenso. Claro está que la velocidad media de movimiento de la pelota hacia arriba es mayor que la velocidad media de su movimiento hacia abajo. Por ello el tiempo de subida de la pelota es menor que el tiempo de caída.

Bueno, pues la verdad es que por energías la cosa se puede intuir de una manera más sencilla y rápida, aunque no estoy muy seguro yo de la respuesta. Pensemos, cuando asciende el objeto y desciende está actuando en todo momento la fuerza de rozamiento debida al aire. Esto nos podría llevar a pensar que cuando la bola esté descendiendo la energía total de ésta será menor, pues por decirlo de algún modo ha perdido más energía, no sé, en forma de calor por ejemplo, debido a la fuerza de rozamiento. Por otro lado, lógicamente, la energía potencial del objeto es exáctamente igual, a la misma altura claro. Por tanto, si decimos que ha perdido más energía cuando está bajando y la energía potencial ha quedado tal cual, ¿qué ha perdido? ¡Pues energía cinética! Eso es, la energía cinética debe ser menor cuando el objeto está descendiendo, por lo que en cada punto el objeto descenderá a una velocidad menor que con la que asciende, y así, tardará más en caer. Por energía es así lo que se me ocurre, pero no estoy seguro, veo de forma más analítica lo que he escrito en el anterior post, pero como tú veas.

Saludos,

[GNzcuber]

Re: Duda de mecanica

Hola Cat_in_a_box,

Si bien es cierto que mis cálculos son "abrumadores", mi respuesta no se basa en ellos, sinó en el planteamiento de las ecuaciones de movimiento, las que tienen la etiqueta "subida" y "bajada".

Por otro lado quiero hacerte ver que tus cálculos no son correctos, estás suponiendo una aceleración constante, cuando la fuerza de rozamiento en los fluidos depende de la velocidad (yo he supuesto una relación lineal y lo he "justificado"). Las ecuaciones de la cinemática que usas son correctas cuando la aceleración es constante también.

Por energías, como Resh nos indica es así:

Suponiendo la energía potencial nula a la altura des de que es lanzado el objeto, tenemos que toda la energía (la mecánica) será energía cinética: $E_{1} = T_{1,inicial}$, luego al llegar a cierta altura tendremos que la energía total se ha transformado en energía potencial y calor $E_{1} = U_{1,final} + W_1$. Como el objeto cae desde esa misma altura en la siguiente fase tendremos $U_{2,inicial}=U_{1,final}=E_{1}-W_1$, al caer toda la energía restante se transforma en cinética $T_{2,final}=U_{1,final}-W_2=E_{1}-W_1-W_2$.

Como $T=\frac{1}{2}mv^2$ en cada instante (lógicamente la velocidad es diferente en esos instantes y $T$ también), y suponiendo que el objeto no ha perdido masa, el promedio de las velocidades de subida es menor que el promedio de las velocidades de bajada por lo tanto tardará más en caer.

¡Saludos!

[Cat_in_a_box]

Re: Duda de mecanica

Hola,

Por otro lado quiero hacerte ver que tus cálculos no son correctos, estás suponiendo una aceleración constante, cuando la fuerza de rozamiento en los fluidos depende de la velocidad (yo he supuesto una relación lineal y lo he "justificado"). Las ecuaciones de la cinemática que usas son correctas cuando la aceleración es constante también

En primer lugar, lo de abrumadores lo decía porque me había costado seguirlos un poco, ya que mi nivel no alcanza claramente al tuyo. Tienes razón en que la aceleración cambia, pero yo lo que dije en mi anterior post fue esto:

En primer lugar, cuando lanzamos el objeto hacia arriba, sobre él actúan dos fuerzas, la de la gravedad y la de rozamiento. Estas dos fuerzas actúan obviamente hacia abajo por lo que el objeto empieza a decelerar con una aceleración media mayor a la causada por la fuerza de la gravedad. Es decir:

$$a_s>g$$

Es decir, yo no supuse que la aceleración era constante en todo momento, simplemente indiqué que el valor medio de la magnitud era mayor que la aceleración ocasionada por la fuerza de la gravedad. En la caída lo mismo, con la aceleración de bajada me refería a un valor medio de la magnitud (en ese caso menor que la aceleración producida por la gravedad). No sé si esto se puede hacer, lo de tomar valores medios digo, ahora estoy preguntando yo

Por energías mi respuesta es similar a la tuya, aunque la tuya con ciertos matices de maestro

Saludos,

[Resh]

Re: Duda de mecanica

Oh, por fin lo entiendo, GRACIAS a ambos por vuestras maestras constestaciones.
¡Saludos!