Secundaria Programacion lineal (Problema)

[Infinitrix]

Ayuda por favor, y si se puede, explicame el procedimiento:

Se va organizar una planta de un taller de automólives donde van a trabajar electricistas y mecánicos.
Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas.
En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos.
El beneficio de la empresa por jornada es de 250 $ por electricista y 200 $ por mecánico.
¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cuánto es?

Gracias

[angel relativamente]

Re: Programacion lineal (Problema)

He estado buscando sobre programación lineal, y de lo que he entendido puedo darte una respuesta. Siendo m el número de mecánicos y e el número de electricistas:
Podemos plantear 4 inecuaciones:

$$m\geqslant e$$

$$m\leqslant 2e$$

$$e\leqslant 30$$

$$m\leqslant 20$$

Visto esto, sabemos que geométricamente una inecuación de 1er grado es un semiplano. Dicho semiplano sabemos que se define mediante una recta. Si convertimos las anteriores inecuaciones en rectas tenemos que:

$$m= e$$

$$m= 2e$$

$$e= 30$$

$$m= 20$$

Vamos a hallar todos los puntos intersección entre esas rectas:

Entre las rectas:

$$m= e$$

$$m= 2e$$

Las soluciones del sistema son e=0 m=0

Entre:

$$m= e$$

$$e= 30$$

Las soluciones del sistema son e=30 m=30

Entre:

$$m= e$$

$$m= 20$$

Las soluciones del sistema son e=20 m=20


Entre:

$$m= 2e$$

$$e= 30$$

Las soluciones son e=30 m=60

Entre:

$$m= 2e$$

$$m= 20$$

Las soluciones son e=10 m=20

Y por último entre:

$$e= 30$$

$$m= 20$$

las soluciones son e=30 y m=30

Tenemos 6 posibilidades, pero ahora vamos a ver cuáles no cumplen las desigualdades:

Si las soluciones del sistema son e=0 m=0 , carece de sentido puesto que la empresa tiene que contratar algún trabajador, y sin ellos no sacará rendimiento.

Si las soluciones son e=30 m=30, es imposible puesto que no puede haber más de 20 mecánicos.

Si las soluciones del sistema son e=20 m=20, es posible puesto que no viola ninguna inecuación (es decir, ninguna condición inicial).

Si las soluciones son e=30 m=60, es imposible puesto que no puede haber más de 60 mecánicos.

Si las soluciones son e=10 m=20, es posible porque no viola ninguna condición.

Y si las soluciones son e=30 y m=30, es imposible porque no puede haber más de 20 mecánicos.


De modo que las dos únicas soluciones posibles son

e=20 m=20

ó

e=10 m=20

Como puedes comprobar la expresión del beneficio la puedes sacar a partir de esta fórmula:

$$B=250\cdot e + 200\cdot m$$

Pero como la empresa quiere sacarse el beneficio máximo, es obvio que será contratando a 20 electricistas y 20 mecánicos, así que la opción e=10 m=20 queda descartada.

Ya hemos respondido que la solución es e=20 m=20, es decir, 20 de cada. Ahora, ¿cuánto será el beneficio? tan solo hay que sustituir en la fórmula:

$$B=250\cdot e + 200\cdot m= 250 \cdot 20 + 200 \cdot 20=9000$$

SOLUCIÓN: La empresa contratará 20 trabajadores de cada y obtendrá un beneficio de 9000.