Hallar distancia mínima entre proyectiles

[Ras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Bueno bueno, parece que el enunciado del problema esta mal, deberían ser 3 las partículas que se estrellan: Partícula A, Partícula B, y partícula RAS.
Gracias a todos por las correcciones, me apoye en premisas incorrectas desde un principio, como he podido comprobar en el gráfico de Al. Andaba yo bastante mas perdido que Fras.

[Al2000]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

... ¿pero lo hiciste para este problema o de forma general?...

Sólo para este problema ($x_{0B} - x_{0A} = D,\, y_{0A} = y_{0B} = 0,\, v_{0A} = v_{0B}$).

Saludos,

Al

[eduardo2384]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Saludos amigos, les presento mi modesta solución puramente vectorial. Como ambos tienen el mismo alcance horizontal, y sus ángulos de lanzamiento son complementarios, entonces los módulos de sus velocidades de lanzamiento deben ser iguales. Ahora usando el movimiento relativo de uno respecto del otro, se tendría que:

$\vec{V}_{A/B}=\vec{V}_A-\vec{V}_B$ (Como ambos estan sometidos a la accion de la gravedad, al hallar la aceleración relativa $\vec{a}_{A/B}$ es un vector nulo , entonces $\vec{V}_{A/B}$ será uniforme)

Es decir, ésto me permite trabajar con el movimiento de $A$ visto desde $B$ (como si $B$ estuviese ''inmóvil''). Con ésto invierto el sentido del vector velocidad de $B$ para hallar la velocidad relativa $\vec{V}_{A/B}$, vean mi dibujo :

http://www.imagengratis.org/images/escanear0rt2zr.jpg

He hecho los traslados de ángulos correspondientes. El ángulo de 45º obviamente es porque los módulos de ambos móviles, son iguales. Todo esto nos dice que la trayectoria de $A$ vista por $B$ será una línea recta donde obviamente la menor distancia o la mínima distancia de acercamiento es la perpendicular trazada desde la posición relativa de $B$. Con un poquito del triángulo conocido de 16º y 74º se tiene que:

$100=25k$ entonces $k=4$ por lo tanto


$d_{minimo}$=7k=7(4)=28m

[Fras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

PD2. Sabes, después de jugar un rato con las fórmulas llego al resultado extremadamente simple de que la distancia mínima vale $\dst d_{min} = \left|D \cos \frac {\theta_A + \theta_B} 2\right|$ ($D$ es la distancia inicial y $\theta_A,\,\theta_B$ medidos de forma convencional, es decir 61° y 151°)

Genial, entonces voy a intentar llegar a ese resultado ... ¿pero lo hiciste para este problema o de forma general?

Gracias.

[Al2000]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

¡Clarísimo! Me extraña la gran discrepancia entre tu resultado y el mío. En fin...

Añado aquí un gráfico en respuesta al gráfico muy bonito pero poco riguroso de Ras La línea punteada en rojo representa el valor de $x$ en el cual las dos partículas se cruzan. Del mismo gráfico es evidente que esa posición no es la posición de mínima distancia. Los cálculos lo confirman, las partículas se cruzan en $t_e = 2.1632\,\mathrm{s}$, en el punto de coordenada $x_e = 35.6627\,\mathrm{m}$ en el cual la diferencia de alturas es de $\Delta y = 28.6745\,\mathrm{m}$.



Saludos,

Al

PD. Lo siento, ya vi de donde proviene la discrepancia en el resultado. Lo que pasa es que cuando veo valores numéricos en el desarrollo de un problema lo leo por encima (con la idea de que hay que revisar los valores después, un después que casi nunca llega ) y no me percaté de las aproximaciones que estás haciendo en los valores de las funciones trigonométricas.

PD2. Sabes, después de jugar un rato con las fórmulas llego al resultado extremadamente simple de que la distancia mínima vale $\dst d_{min} = \left|D \cos \frac {\theta_A + \theta_B} 2\right|$ ($D$ es la distancia inicial y $\theta_A,\,\theta_B$ medidos de forma convencional, es decir 61° y 151°)

[Fras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

¿Relaciones métricas? ¿Triángulo rectángulo?

Sí, bueno aquí se entiende mejor lo que hice:



Como resolví que por cada 24m que recorre $A$ en el eje $x$ (respecto de $B$), recorre 7m en el eje $y$, y por dato del problema $\Delta x=100m$, entonces con una simple regla de tres sale que $\Delta y=29.167$.

Por Pitágoras (en el triángulo ABP): $AP=\sqrt{{(\Delta x)}^{ 2}+{(\Delta y)}^{2 } }$
Y por relaciones métricas en el triángulo rectángulo: $(cateto)(cateto)=(hipotenusa)(altura)$
Y obviamente la distancia mínima entre $B$ y la trayectoria de $A$ respecto de ella, será la perpendicular a esta última trazada desde $B$, o sea la altura.

(Espero que se entienda lo que quiero decir )

Saludos.

[GNzcuber]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

¿Relaciones métricas? ¿Triángulo rectángulo?

Yo estoy igual, esperaba que en tu post lo explicaras .

Vamos por partes, como Jack el destripador.

Lo primero es el razonamiento de Ras, me gustaría que lo expliques mejor porque no es correcto suponer por las buenas que la distancia mínima será justamente cuando uno esté por encima de otro, no tiene por qué.

Fras, desarrollaré algo porque no sabía que habías hecho, y lo haré de dos formas por si no conocías la segunda:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \cos(61) + \cos(29) &= \cos(45+16) + \cos(45-16) \\ <br /> &= [\cos(45)\cos(16)-\sin(45)\sin(16)]+[\cos(45)\cos(16)+\sin(45)\sin(16)] \\<br /> &= 2\cos(45)\cos(16) \\<br /> \cos(61) + \cos(29) &= 2\cos\left(\frac{61+29}{2}\right)\cos\left(\frac{61-29}{2}\right) \\<br /> &= 2\cos(45)\cos(16)<br /> \end{aligned}$$

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \sin(61)-\sin(29) &= \sin(45+16) - \sin(45-16) \\<br /> &= [\sin(45)\cos(16)+\cos(45)\sin(16)]-[\sin(45)\cos(16)-\cos(45)\sin(16)] \\<br /> &= 2\cos(45)\sin(16) \\<br /> \sin(61)-\sin(29) &= 2\cos\left(\frac{61+29}{2}\right)\sin\left(\frac{61-29}{2}\right) \\<br /> &= 2\cos(45)\sin(16)<br /> \end{aligned}$$

Luego, me gustaría saber de dónde has sacado la información para concluir tu procedimiento. Me refiero a que el producto de la distancia máxima por la mínima es igual al producto de $\Delta x$ por $\Delta y$. Usando velocidades relativas.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

¿Relaciones métricas? ¿Triángulo rectángulo?

[Fras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Esta es mi resolución, corregida:

Como ambos tienen el mismo alcance horizontal, y sus ángulos de lanzamiento son complementarios, entonces sus velocidades de lanzamiento deben ser iguales.

${V}_{0A }={V}_{0 B}={V}_{0 }$

Descomponiendo las velocidades de A y B en sus componentes rectangulares (tomando en cuenta +$\hat{\jmath}$ hacia arriba y +$\hat{\imath}$ hacia la derecha):

${\vec{V} }_{A } = ({V}_{ o} cos61)\hat{\imath} + ({V}_{0 } sen61-gt)\hat{\jmath} <br />$

${\vec{V} }_{B } = (-{V}_{ o} cos29)\hat{\imath} + ({V}_{0 } sen29-gt)\hat{\jmath} <br />$

Para hallar la distancia mínima, debo hallar la velocidad relativa:

${\vec{V} }_{AB } = [{V}_{ 0} (cos61+cos29)]\hat{\imath} + [{V}_{ 0} (sen61-sen29)]\hat{\jmath} <br />$

Usando un poco de trigonometría me queda así:

${\vec{V} }_{AB } = [{V}_{0 } (2cos45cos16)]\hat{\imath} + [{V}_{0 } (2sen16cos45)]\hat{\jmath} <br />$

${\vec{V} }_{AB } = (\frac{24\sqrt{2}{V}_{ 0} }{25 } )\hat{\imath} + (\frac{7\sqrt{2}{V}_{ 0} }{25 } )\hat{\jmath} <br />$

Esto quiere decir que por cada 24m que $A$ recorra respecto a $B$ en el eje $x$, recorrerá 7m en el eje $y$, luego no es necesario hallar ${V}_{ 0}$.

Aplicando relaciones métricas en el triángulo rectángulo, tenemos que el producto entre las distancias recorridas en $x$ e $y$, es igual al producto entre la distancia total (o sea $\sqrt{{(\Delta x)}^{ 2} +{(\Delta y)}^{2 } }$) por la distancia mínima (${d}_{min }$).

Es decir:

$(\Delta x)(\Delta y)=[\sqrt{{(\Delta x)}^{ 2} +{(\Delta y)}^{2 } }]({d}_{ min} )<br />$

Por dato del problema: $\Delta x=100m$, por lo tanto $\Delta y=29.167m$

Reemplazando en la ecuación anterior:

$(100)(29.167)=(104.167)({d}_{ min} )<br />$
${d}_{ min} =28.00023m\approx 28m$

[Ras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Gracias Ras por tu respuesta.



¿Me podrías indicar cómo llegaste a este resultado por favor?, ¿o decirme dónde me equivoqué?, porque no consigo ver mi error en mis cálculos.

Gracias de nuevo
Saludos.

Creo que esta suficientemente resuelto, pero ya que preguntaste, yo lo hice de este modo.

Calcule $v_{0}$ como ALL2000.
Calculé $v_{Ay}, v_{Ax,} v_{By}, v_{Bx}$ como ya sabes con trigonometría.

Hay un instante t´donde se cruzan los proyectiles, y es cuando A ha recorrido x, y B ha recorrido 100-x

Como el alcance se obtiene multiplicando la velocidad en el eje x por el tiempo, obtuve la incógnita X (nada que ver con el eje x) por medio de este sistema:
$\Delta x_{A} = v_{XA}t$
$\Delta x_{B} = v_{XB}t$

Sabiendo que $\Delta x_{A}=X$ y $\Delta x_{B}=100-X$ despejando t e igualando podemos sacar X.

Una vez tengamos la distancia recorrida en x por cada proyectil, podemos sacar el instante t en que se cruzan, resolviendo en el sistema anterior.

Con el momento del encuentro t´puedes sacar el incremento en la altura (eje y) de cada una en ese momento:
$\Delta y_{A} = v_{yA} t+\frac12gt^2$
$\Delta y_{B} = v_{yB} t+\frac12gt^2$

Teniendo las dos alturas, le restas la menor a la mayor y fiesta

[Fras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Muchas gracias a todos por su ayuda, ahora mismo me pongo en ello y les cuento qué tal.

Saludos.

EDITO: Creo que encontré un problema con mi resolución que puse al principio del hilo, un problema con la trigonometría, ahora lo he resuelto y me da 28,002m.
Igual lo intentaré con los métodos que me han propuesto.
Gracias de nuevo.

[Al2000]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Mientras ustedes escribían sus mensajes yo lo estaba haciendo por el mismo método. Sólo para confirmar, pongo mis resultados. Sin ninguna simplificación, el tiempo en el cual las partículas están a la distancia mínima vale

$$t_m = - \frac {(x_{01}-x_{02})(v_{01} \cos \theta_1 - v_{02} \cos \theta_2) + (y_{01} - y_{02})(v_{01} \, \mathrm {sen} \, \theta_1 - v_{02} \, \mathrm {sen} \, \theta_2)}{(v_{01} \cos \theta_1 - v_{02} \cos \theta_2)^2 + (v_{01} \, \mathrm {sen} \, \theta_1 - v_{02} \, \mathrm {sen} \, \theta_2)^2}$$

y la distancia mínima es

$$d_m = \sqrt {[x_{01}-x_{02} + (v_{01} \cos \theta_1 - v_{02} \cos \theta_2) t_m]^2 + [y_{01} - y_{02} + (v_{01} \, \mathrm {sen} \, \theta_1 - v_{02} \, \mathrm {sen} \, \theta_2) t_m}]^2$$

Como lo apuntó Fras en su primer mensaje, las velocidades iniciales son iguales y se pueden calcular a partir del alcance horizontal máximo:

$$v_{01} = v_{02} = \sqrt {\frac {(x_{02}-x_{01}) g}{\mathrm {sen} \, (2 \theta_1)}} = 34.0056\,\mathrm{m/s}$$

Al sustituir esta velocidad inicial y los otros datos, obtengo los valores $t_m = 1.9988\,\mathrm{s}$ y $d_m = 27.5637\,\mathrm{m}$

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Por cierto, creo que te has comido un par de tiempos:

$$\dst\boldsymbol{r}_B = \left[x_B-v_B\cos(\beta)t\right]\boldsymbol{i}+\left[v_B\sin(\beta)-\frac{1}{2}gt^2\right]\boldsymbol{j}$$

$$\dst \boldsymbol{r}_A = \left[v_A\cos(\alpha)t\right]\boldsymbol{i}+\left[v_A\sin(\alpha)-\frac{1}{2}gt^2\right]\boldsymbol{j}$$

¿No sería?:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\dst \boldsymbol{r}_A = \left[v_A\cos(\alpha)t\right]\boldsymbol{i}+\left[v_A\sin(\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2\right]\boldsymbol{j}$$

¡Un saludo!

[GNzcuber]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

¡Claro era un simple problema de optimización!

PD: Iba a corregirte porque te faltaba una raíz en esta expresión: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero veo que te has dado cuenta antes

Jejeje, de hecho no me faltaba, he puesto \sqtr en vez de \sqrt y no encontraba el error. .

¡Saludos!

[angel relativamente]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

¡Claro era un simple problema de optimización!

PD: Iba a corregirte porque te faltaba una raíz en esta expresión: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero veo que te has dado cuenta antes