1r ciclo Problemilla complicado "solido rigido"

[michaell]

Hola a todos.

Bueno os comento, un ejercicio similar a este lo he realizado ya por dinamica y energias, pero ahora me lo plantean de la siguiente forma:
- Una bola uniforme de radio r rueda sin deslizar a lo largo de una via que forma un bucle de radio R. Parte del reposo a una altura h y la bola no abandona la via en la parte superior del bucle. ¿Cual es el valor minimo de h en funcion del radio R del bucle para que se cumpla esto?



Se supone que el ejercicio esta dentro del temario de solido rigido, pero la verdad no se muy bien que ecuaciones tengo que aplicar, al leerlo por primera vez pense que se trataba de un problema de rodadura, pero no se por donde cogerlo.
PD: la solución que me dan es: h = 2.7R-1.7r

Gracias adelantadas

[carroza]

Re: Problemilla complicado "solido rigido"

Hola.

Este es un ejercicio clásico, relevante si quieres montarte con seguridad en montañas rusas.

Hay dos consideraciones:

1: Conservación de la energía. la energía potencial inicial debe ser igual, en cada punto, a la suma de la energía potencial, más la
cinética de traslación ($1/2 m v^2$) más la de rotación ($1/2 I w^2$). Como no desliza, $v = w r$.

2: No se cae en el punto más alto, por lo que el peso debe ser igual a la fuerza centrífuga. ($mg = m v^2/R$)

[Cat_in_a_box]

Re: Problemilla complicado "solido rigido"

Hola,

Sólo debes tener en cuenta la conservación de la energía, que el cuerpo está rodando y no deslizándose. Además, si haces un diagrama de fuerzas en el punto más alto del bucle, verás que la fuerza centrípeta es igual a la suma del peso y de la normal. Para que sea la altura sea mínima, la velocidad con la que pasa por ese punto también ha de ser mínima pero no nula. De ahí, que la normal tiene que ser cero, de modo que obtenemos que la velocidad mínima con la que tiene que pasar es:

$$mg=m\dst\frac{v^2_{min}}{R}\Rightarrow \boxed{v^2_{min}= Rg}$$

Además, al caer la esferase traslada y gira, por lo que la energía cinética de la esfera debe incluir un término debido al giro respecto a su centro de masas. De este modo, la conservación de la energía vendría dada por la siguiente expresión. Nota que llamo B al punto más alto del bucle:

$$E_m_{h.min}=E_m_B\Rightarrow mgh_{min}=\dst\frac{1}{2}mv^2_{min} + \dst\frac{1}{2} I_{CM}\omega^2_B + mg2R$$

Además, como el cuerpo rueda pero no desliza, tienes que:

$$v=\omega r\Rightarrow \omega=\dst\frac{v_{min}}{r}$$

Por tanto, simplemente tendrías que despejar la altura de la expresión:

$$mgh_{min}=\dst\frac{1}{2}mv^2_{min} + \dst\frac{1}{2} I_{CM}\left(\dst\frac{v_{min}}{r}\right)^2+mg2R$$

Teniendo en cuenta que la velocidad mínima es $v_{min}=Rg$ y bueno, si te dicen que es una bola uniforme, su momento de inercia respecto a un eje que pasa por su centro es:

$$I_{CM}=\dst\frac{2}{5} mr^2$$

(He considerado que se trata de una esfera maciza uniforme, aunque me extraña que no te den cuál es el momento de inercia de la bola).

Saludos,

[Cat_in_a_box]

Re: Problemilla complicado "solido rigido"

Lo siento mucho carroza, había dejado este hilo abierto en ''modo avanzado'' para contestar y no me he dado cuenta que ya lo habías hecho tú hace un buen rato. Te pido disculpas

Saludos,

[carroza]

Re: Problemilla complicado "solido rigido"

No problem.

Saludos

[michaell]

Re: Problemilla complicado "solido rigido"

Muchas gracias a los dos!

Ahora me doy cuenta jajaja, claro, la base del ejercicio la tenia clara porque lo habia resuelto antes sin tener en cuenta que la pelota rodase, es decir consideraba una pelota puntual que realizaba su movimiento deslizando sin rozamiento, entonces tenia las mismas ecuaciones salvo la de la condicion de que rodaba sin deslizar.

El tema de solido rigido me trae de calle U_U y eso que este ejercicio era una tonteria, pero hay otros que son muy poco intuitivos.

Un saludo.

[carmelo]

Re: Problemilla complicado "solido rigido"

Hola:

Una precisión. Se está asumiendo que $r\ll R$ por lo tanto el radio de la trayectoria circular es $\approx R$. Como no está especificado en el enuciado esto, habría que considerar que el radio de la trayectoria es $R-r$.

Saludos
Carmelo

[polonio]

Re: Problemilla complicado "solido rigido"

Hola:

Una precisión. Se está asumiendo que $r\ll R$ por lo tanto el radio de la trayectoria circular es $\approx R$. Como no está especificado en el enuciado esto, habría que considerar que el radio de la trayectoria es $R-r$.

Saludos
Carmelo

Sí, señor. Totalmente de acuerdo. En el enunciado no se dice que $r\ll R$.

[Cat_in_a_box]

Re: Problemilla complicado "solido rigido"

Una precisión. Se está asumiendo que por lo tanto el radio de la trayectoria circular es . Como no está especificado en el enuciado esto, habría que considerar que el radio de la trayectoria es .

Tienes toda la razón. Muchas gracias por la puntualización.

Saludos,

[GNzcuber]

Re: Problemilla complicado "solido rigido"

...
Este es un ejercicio clásico, relevante si quieres montarte con seguridad en montañas rusas.
...

Ya que la pregunta inicial está resuelta, me gustaría saber algo más sobre este comentario. ¿Qué más se debe tener en cuenta? ¿Y cuál es la importancia de dichos factores?

¡Gracias!

[Juan S]

Re: Problemilla complicado "solido rigido"

Hola a todos.
Me presento porque soy nuevo en este foro, que me parece sumamente interesante.

En cuanto al ejercicio, perdonarme si digo una tontería pero, ¿para que haya rodadura (me refiero a que la bola rueda) no es necesario que haya rozamiento? En ese caso no habría conservación de la energía.
Supongo que el enunciado debería haber dicho que se desprecia el rozamiento ...

[Cat_in_a_box]

Re: Problemilla complicado "solido rigido"

Hola Juan S,

Sí, es cierto que el problema no dice nada de que se desprecie el rozamiento. Ahora bien, he(mos) considerado que no existe rozamiento entre el cuerpo y la superficie a pesar de saber que, para que el cuerpo ruede, es necesario que exista rozamiento, como has dicho. No obstante, podemos despreciar este rozamiento desde el punto de vista energético, como hemos hecho el ejercicio, debido a que la energía que disipa dicha fuerza es mínima.

Saludos,

[polonio]

Re: Problemilla complicado "solido rigido"

Hola Juan S,

Sí, es cierto que el problema no dice nada de que se desprecie el rozamiento. Ahora bien, he(mos) considerado que no existe rozamiento entre el cuerpo y la superficie a pesar de saber que, para que el cuerpo ruede, es necesario que exista rozamiento, como has dicho. No obstante, podemos despreciar este rozamiento desde el punto de vista energético, como hemos hecho el ejercicio, debido a que la energía que disipa dicha fuerza es mínima.

Saludos,

No, no es que se tenga que despreciar nada (y esto ya se discutió en otro hilo): el rozamiento existe, y es fuerte, pero es un rozamiento estático (recordad que la condición de rodadura es que la velocidad relativa instantánea entre los dos cuerpos en contacto es nula) por lo que, simplemente, no hace trabajo (ni mucho, ni poco ).

[Cat_in_a_box]

Re: Problemilla complicado "solido rigido"

Hola,

No, no es que se tenga que despreciar nada (y esto ya se discutió en otro hilo): el rozamiento existe, y es fuerte, pero es un rozamiento estático (recordad que la condición de rodadura es que la velocidad relativa instantánea entre los dos cuerpos en contacto es nula) por lo que, simplemente, no hace trabajo (ni mucho, ni poco ).

Muchas gracias polonio, así todo queda mucho más claro

Saludos,