1r ciclo Dudas sobre sólido rígido

[pepinillo]

Bien tengo dos dudas sobre sólido rígido, una de ellas creo que sé como es pero la otra no consigo saberlo, si alguien es tan amable deayudarme:

1º)En un ejercicio de sólido rígido teniendo muelles etc. Calcular el punto o puntos de equilibrio.

Se calcula haciendo la primera derivada de la energía potencial con respecto a cada grado de libertad e igualand a cero, se halla el mínimo de potencial ¿Puede ser así?

2º)Cuando te piden los modos normales de vibración, calculas el Lagrangiano y sus ecuaciones de moviento. En muchos casos con giros salen los ángulo que tienes como variables (por ejemplo: phi y theta) dentro de una función trigonométrica.
Mi duda es ¿ Cómo se calcula entonces las matrices M y K, necesarias para calcular los modos normales de vibración?

Muchas gracias

[GNzcuber]

Re: Dudas sobre sólido rígido

Hola pepinillo,

1º. Depende de lo que te pidan, si sólo te piden calcular los puntos de equilibrio fíjate que és más fácil, si escribir la ecuación del movimiento o escribir hallar la energía potencial. En el primer caso el cuerpo estará en equilibrio cuando la aceleración sea cero. En el segundo cuando la derivada de la energía potencial sea nula (el potencial está en un punto estacionario). Si además te piden hallar si el equilibrio es estable o inestable, con la segunda puedes hacer la segunda derivada; si ésta es negativa es estable, si es positiva es inestable.*

2º. Este tema es algo que me debería mirar, ya que en mi grupo lo hacíamos fuerzas (con las leyes de Newton), y en otro grupo lo hacían por energías. Te mostraré cómo lo hago yo para ver si te puede orientar algo. Si ves que tiene relación y te ayuda puedes, siempre que así lo desees, mostrarme de qué manera lo haces tú.

Supongamos dos muelles acoplados por un muelle de constante $k'$, y además unidos a una pared por una constante $k$ (es el caso más simple que siempre sale).



He conocido dos sistemas de referencia para calcular las ecuaciones del movimiento yo usaré el que me parece más sencillo de entender para mí.

Supongamos que en la posición de equilibrio hay dos ejes, $Ox_1$ y $Ox_2$, donde las masas $m_1$ y $m_2$ coinciden con el cero de cada uno respectivamente. Un desplazamiento $x_1$ de $m_1$ hace que el primer muelle (que conecta la masa con la pared) ejerza una fuerza $-kx_1$, y por otra parte el muelle que une las masas ofrece una fuerza $-k'(x_1-x_2)$¹. Quedandonos la ecuación del movimiento siguiente:

$$\displaystyle m_1\ddot{x}_1 = -kx_1-k(x_1-x_2)$$

Con el mismo razonamiento obtenemos la ecuación del movimiento de $m_2$, o también podemos pensar que por reacción la fuerza que ejerce el muelle central en $m_2$ es igual en magnitud y de signo opuesto al que ofrece a $m_1$ que tenemos calculado. Ésto debido a la tercera ley de Newton. Así (haciendo aún más fácil y común el ejercicio $m_1=m_2=m$)

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Donde $\ddot{x}_i = -\omega x_i$, ya que por alguna razón suponemos que realizan un movimiento armónico simple². Si lo escribimos matricialmente obtendremos

$$\displaystyle \left(\begin{matrix}<br /> m\omega^2-k-k' & k' \\<br /> k' & m\omega^2-k-k'<br /> \end{matrix}\right) <br /> \left(\begin{matrix}<br /> x_1 \\ x_2 \end{matrix}\right) = <br /> \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right)<br />$$

Para encontrar los modos normales de vibración nos interesa que los vectores de desplazamiento no sean nulos, sinó el sistema estaría en reposo y no tendría gracia :P. Así que haremos que el determinante sea nulo y veremos a qué frecuencias tienen el mismo desplazamiento

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Cuando este sistema está en un modo normal se puede intuir cómo se moverán las partículas. Una manera es en oposición de fase, este caso corresponde a la frecuencia $\omega_1$, se puede ver que un desplazamiento de una masa hace que se le ejerza una fuerza debida al muelle que lo une con la pared y una fuerza doble a la que se le ejercería si se desplazase dicha distancia, ésto se debe a que la elongación del muelle es doble, pues la otra masa tiene el mismo desplazamiento con signo opuesto, por lo que $|x_1-x_2| = 2x_1 = 2x_2$.

El otro modo normal es cuando ambas masas tienen el mismo desplazamiento, por lo que el muelle central no les aplica ninguna fuerza, y por lo tanto la frecuencia se debe al muelle que las conecta con la pared.

¡Saludos!



* Todo ésto aún se puede ampliar un poco más, pero no me animo porque debería estudiarlo, ya que son casos que nunca hemos contemplado. Cuando el equilibrio es indiferente, cuando no hay energía potencial (es decir es nula en un cierto rango), y cuando además de un movimiento de translación hay de rotación.

¹ Los desplazamientos los consideraremos positivos o negativos según escojamos dichos sentidos. Pero a ambos con el mismo criterio. Por lo que $(x_1-x_2)$ es el desplazamiento relativo de la masa $m_1$ respecto a $m_2$.

² Supongo que en su momento sabía el por qué, pero ahora no lo sé con certeza, deberé repasarlo.

[pepinillo]

Re: Dudas sobre sólido rígido

Muchas gracias, la primera me ha sacado de dudas, que para movimiento complicado mejor es primera derivada respecto a la posición cero y lo dejamos ahí si no nos piden el tipo de equilibro.
La segunda, te agradezco la currada, pero no me ha sacado mucho de dudas, te cuento mi método para tu ejercicio, al final se resúme a lo mismo.

Una vez tenemos las ecuaciones de movimiento (2), las escribimos de forma matricial como:



Trabajamos con las matrices M y K.
Si realizamos la siguiente operación, obtenenmos los modos normales de vibración (w):

No escribiré la demostración, si a alguien le interesa que me la pida y la pongo.

*Mi duda era para un ejercicio como el siguiente:
Dos barra homogéneas y muy delgadas, de longitud L y masa m, están unidas mediante un muelle ideal de constante recuperadora k y longitud natural L, como muestra la figura. Los extremos opuestos de las barras se enganchan a sendas argollas de masa despreciable, que se introducen en una pequeña guía, perpendicular al plano de movimiento horizontal.
Calcule la posición de equilibrio y las frecuencias normales del sistema.


Igualando la primera derivada de la energía potencial respecto a la posición me sale que las posiciones deequilibrio son (calculada solo para la fi):
fi=90º
fi=30º
Pues bien a través del Lagrangiano calculo las ecuaciones de movimiento:

He aquí mi duda :
la matriz M está claro que será:


Pero no sé como calcular la matriz K, no sé si al ser constante en el movimiento lo podemos poner en cualquier punto como el de equilibrio, pero se me anularía la matriz.
Muchas gracias
Un saludo

[Roman]

Re: Dudas sobre sólido rígido

Pepinillo, aunque existen muchas maneras de determinar las características de las pequeñas oscilaciones en torno a la posición de equilibrio (por ejemplo la que más bonita me parece sería tomar un desplazamiento $\epsilon$ mucho más pequeño que la coordenada generalizada), la más sencilla es, en mi opinión, la siguiente:

Bueno, para entender esta forma de calcular las matrices de masa y rigidez es indispensable aproximar el Lagrangiano al de un oscilador armónico. Supongo que te habrán enseñado eso ya que es lo más corriente, sino supongo que no conocerías esas matrices. En caso contrario avísame y escribo el desarrollo teórico.

Si T y V son la energía cinética y potencial respectivamente, cada elemento de la matriz de rigidez corresponderá a:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] )

Siendo $q_0$ la posición de equilibrio. Es decir, sería evaluar el resultado de la doble derivación en la posición de equilibrio.
Así mismo, para los elementos de la matriz de masas será:

$m_{ij}=(\frac{\partial ^2 T}{\partial \dot q_i \partial \dot q_j})_{q_0}$

[pepinillo]

Re: Dudas sobre sólido rígido

Ok, duda resuelta .
Muchas gracias Roman