Secundaria ¿Cual es la velocidad angular de Wp? [Cuerpo rigido]

[hector0]

Hola, quisiera que me den una mano con este ejercicio.. lo estoy tratando de hacer pero no sale. si lo termino subire lo que me da..

Gracias, saludos!

La polea y el tambor de peso Wp ruedan sin deslizar sobre un plano horizontal. La polea tiene un radio de giro k con respecto al eje horizontal que pasa por 0. Despues que el peso W ha caido una altura h a partir del reposo. ¿Cual es la velocidad angular de Wp?

[Lambda]

Re: ¿Cual es la velocidad angular de Wp? [Cuerpo rigido]

Hola, yo creo que si el peso "w" cae por la fuerza de la gravedad, la velocidad angular de "wp" al cabo de recorrer la distancia "h", será:

(U = energía potencial, E = Energía cinetica)


Bien voy a plantear la solucion de otro modo siguiendo parte de los consejos de Al2000, de todas formas adjunto la antigua solucion en una imagen para que se vea los fallos.


Por el principio de la conservación de la energía:

$$U_t + E_t = EnergiaTotal$$

La energia total no es 0 y instantes antes de empezar a rodar el conjunto es igual a la energia potencial del peso "w":

$$(U_wp + U_w) + (E_wp + E_w) = m.g.\Delta h$$

$$(0 + m.g.\Delta h) + (0 + 0) = m.g.\Delta h$$

Ahora cuando recorra la distancia "h" y por el principio de la conservacion de la energia es:

$$(0 + 0) + (E_wp +\frac{ 1}{2 }.m.v^2 ) = m.g.\Delta h$$

Donde considerando el conjunto polea-tambor como un cilindro hueco(polea) mas un cilindro solido(tambor), es:

$$E_wp = \frac{1}{2}.(\sum_{n = i}^\infty m_i.r^2_i) .\omega ^2$$

$$E_wp = \frac{1}{2}.(I_1+I_2) .\omega ^2$$

Y siendo $I_1 + I_2 =$ momento de inercia del conjunto, es en (4): (No lo desarrollo por que creo que no hay suficientes datos para calcularlo)

$$(0 + 0) + (\frac{1}{2}.(I_1+I_2) .\omega ^2 + \dfrac{ 1}{2 }.m.v^2 ) = m.g.\Delta h$$

Ahora si $v^2 = (R.\omega)^2$, es: ( La velocidad angular es $rad/s$ y no $rev/s$ como yo crei antes)

$$(0 + 0) + (\frac{1}{2}.(I_1+I_2) .\omega ^2 + \dfrac{ 1}{2 }.m.(R.\omega)^2) = m.g.\Delta h$$

Entonces y espero que sea la definitiva , despejamos $\omega$:

$$((I_1+I_2) + .m.R^2).\dfrac{\omega^2}{2} ) = m.g.\Delta h$$

$$.\omega^2 = \dfrac{m.g.\Delta h.2}{((I_1+I_2) + .m.R^2) }$$

$$.\omega = \sqrt{\dfrac{m.g.\Delta h.2}{((I_1+I_2) + .m.R^2)} }$$

Un saludo

Solución antigua:

http://asp.suringa.com/?di=V3TF

[Al2000]

Re: ¿Cual es la velocidad angular de Wp? [Cuerpo rigido]

...
Por el principio de la conservación de la energía:

$$U_t + E_t = 0$$

La energía potencial total en el punto mas alto es:

$${U}_{ t} = {U}_{wp } + {U}_{w } = 0 + m.g.h$$

Entonces siendo el momento de inercia del disco (polea mas tambor):

$$I = \frac{1}{ 2} . M . {R}^{2 }$$

La energía cinetica total al cabo de recorrer la distancia "h":

$${E}_{t } = {E}_{wp } + {E }_{w } = \dfrac{1}{2}.I.\dst {\omega }^{2 } + \dfrac{1}{ 2}.m.{v}^{2}$$

Sustituyendo en (1):

$$(0 + m.g.h) + (\dfrac{1}{2}.I.\dst {\omega }^{2 } + \dfrac{1}{ 2}.m.{v}^{2}) = 0$$

Donde "${v}^{2 }$ ", es:

$$<br /> {v}^{ 2} = {{v}_{ 0}}^{2 } + 2.a.h = 0 + 2.a.h ={ (2.\pi .R.\omega)}^{ 2}$$

Por lo que:

$$a = \dfrac{{ 2.(\pi .R.\omega)}^{ 2} }{h }$$

Entonces tomando la energiá cinetica como negativa y despejando, queda:
...

Un par de observaciones:

- La energía cinética nunca es negativa. Si dices en (1) que la energía total es cero, implícitamente estás diciendo que la energía potencial gravitacional inicial del peso W es cero, puesto que la polea está en reposo. En otras palabras, estás midiendo la altura del peso a partir de su posición inicial. Cuando el peso haya bajado una altura h debido a la gravedad, la polea habrá ganado algo de velocidad y tendrá entonces algo de energía cinética, mientras que el peso habrá perdido energía potencial, la cual ahora será negativa, $- m g h$. Tu planteamiento tenía que haber sido que, considerando la energía total cero, luego de bajar una altura h la energía será $\frac 1 2 M v^2 + \frac 1 2 I \omega^2 - m g h = 0$.

- Para relacionar la velocidad lineal con la velocidad angular lo que debes hacer es reconocer que el conjunto polea-cilindro rueda sin deslizar con radio de giro r y usar la relación $v = \omega r$ para expresar la energía cinética de traslación en términos de $\omega$.

- A mi modo de ver, el resultado debería quedar expresado en función de la inercia del conjunto polea-cilindro, pues siendo un cuerpo compuesto decidir que el momento de inercia es el de un disco homogéneo no se sustenta en ningún dato.

Saludos,

Al
(desde el exilio)

[Lambda]

Re: ¿Cual es la velocidad angular de Wp? [Cuerpo rigido]

Nuevamente te agradezco que me corrijas Al2000 y espero, si no es mucho abusar jejeje, que lo vuelvas a hacer.

Ya se que es cierto que no debiera participar si no tengo claro como se hace, pero no es menos cierto que esta no es mas que otra forma de asimilar los conceptos y por lo menos a mi me ayuda bastante aunque la "lie" un poco

Un saludo.