Golpe a un fosforo

[[Beto]]

Hola, necesito algo de ayuda con este ejercicio:

Un fosforo asi como se muestra en la figura tiene en uno de sus extremos una masa "$m$", y el cuerpo consiste de una masa uniforme "$M$" ¿A qué distancia "$x$" se le debe de golpear a la barra en dirección perpendicular a la misma para que la aceleración que se le cause a la masita "$m$" sea cero?

Creo que quizás se deba de aplicar:

$$\sum\tau=I\alpha$$

Aunque no estoy seguro.

Gracias de antemano

[polonio]

Re: Golpe a un fosforo

Pues por ahí va la cosa.

Basta con aplicar el teorema del monento cinético y el teorema de la cantidad de mivimiento.

De todas formas, yo prefiero resolver estos problemas con los métodos de la mecánica analítica, pero no sé si te piden hacerlo con métodos vectoriales.

[[Beto]]

Re: Golpe a un fosforo

De todas formas, yo prefiero resolver estos problemas con los métodos de la mecánica analítica, pero no sé si te piden hacerlo con métodos vectoriales.

Solo es curiosidad de como se resolvería, el método no importa , ya que no es un ejercicio que tenga que resolver por cumplir con alguna tarea, si no solamente que no logro plantear la forma de resolverlo (¿Cuál sería la ecuación a partir de la que se obtiene $x$?), agradecería un poquito de ayuda más .

[polonio]

Re: Golpe a un fosforo

Si he entendido bien el problema, la cerilla se golpea (se aplica una percusión), así que estaremos ante un problema de dinámica impulsiva. Esto es, se establece (o se elimina) bruscamente una ligadura: se hace una percusión. Por tanto, se da una discontinuidad en las velocidades.

El golpe que le damos (percusión), provoca una discontinuidad en la velocidad, que supondría una aceleración infinita, por tanto el efecto de cualquier otra fuerza (peso,...) es despreciable, pues provoca una aceleración finita. ¡Ojo!, hablamos sólo del instante justo en el que se golpea: el instante de la percusión.

En estas condiciones, las ecuaciones que nos quedan para ese instante del golpe son:

$\triangle\vec{C}=\vec{P}$ (Teor. de la cantidad de movimiento impulsivo)


$\triangle\vec{L}_{o}=\overrightarrow{OQ}\times\vec{P}$ (Teor. del momento cinéico. impulsivo)

($\vec{C}$ es la cantidad de movimiento, $\vec{P}$ es la percusión y Q el punto donde se aplica el golpe).

Los incrementos son en el instante en los que se aplica la percusión (el golpe): cuando se da la discontinuidad de las velocidades: esto es, justo después de golpear menos justo antes de golpear que, en este caso, el anterior sería nulo pues estaría en reposo hasta que se golpea.

Ten en cuenta que puedes aplicar el teor. del momento cinético en los puntos que quieras: si lo haces respecto al punto donde se golpea, no es necesario conocer lo que vale la percusión pues tendríamos $\overrightarrow{QQ}\times\vec{P}$ nulo.

De estas ecuaciones se puede obtener la velocidad de cualquier punto justo después del golpe. Pero ten cuidado con lo de la aceleración, pues, como repito tanto, hay discontinuidad en la velocidad.

Después de esta velocidad tras el golpe (que se tomará como inicial), ya se puede hacer un estudio dinámico de cómo evoluciona el sistema.

Espero que te haya servido ahora un poco más.

[[Beto]]

Re: Golpe a un fosforo

Veamos, me queda algo más o menos así:

Para el momento cinético:

$$\dd L_0=(L-x)\dd p$$

Esto siguiendo la sugerencia de aplicarlo con respecto al punto donde se golpea.

Para la cantidad de movimiento.

$$\dd p=F\dd t$$

Usando (1) y (2), llego a que:

$$\frac{\dd L_0}{\dd t}=(L-x)F$$

Luego considerando que $\dst \frac{\dd L_0}{\dd t}=\tau$ y que $\dst \tau=\frac{M}{m+M}LF$ (que es el torque con respecto al centro de masa del sitema), aunque es en esta parte donde tengo dudas ya que solo lo hago por sospechar de que el torque es respecto al centro de masa.

Finalmente me queda así:

$$\frac{M}{m+M}LF=(L-x)F\Longrightarrow x=\frac{Lm}{M+m}$$

¿Está correcto lo que he hecho?, aunque al resolverlo así no encuentro como usar el dato de que la aceleración causada es cero.

Gracias de antemano.

[polonio]

Re: Golpe a un fosforo

Debes seguir teniendo cuidado con lo que te he dicho antes, se trata de aplicar los teoremas para un instante dado (el del golpe), así que no tiene sentido un dt, sólo podemos estudiar el salto de cantidad de movimiento y el salto de momento cinético. Y luego ya no actúa la percusión, por lo que el único torque posible será el del rozamiento con el suelo y la reacción con el suelo si sigue en contacto, el torque del peso,... y a partir de aquí sí que hay evolución temporal y tiene sentido dt.

Luego considerando que $\dst \frac{\dd L_O}{\dd t}=\tau$

A parte de esto, si vas usar el teorema del momento cinético para la evolución posterior del sistema, ¡ojo!, esta expresión sólo es cierta cuando el punto O es el centro de masa, o cuando O es un punto fijo, o cuando O se mueve paralelo al centro de masa.

Lo correcto sería:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

A ver si busco un rato y te resuelvo el problema impulsivo...

[carroza]

Re: Golpe a un fosforo

Hola.

No me sale tu solucion.

Como yo veo tu problema, es de la forma siguiente: Si actuas con
una fuerza$\vec F$ sobre un punto $A$de un sólido rígido cualquiera, generas una aceleración $\vec a$ del centro de masas del objeto, y una aceleración angular $\vec \alpha$ con respecto al centro de masas.

Si queres que el punto $P$ quede quieto, entonces debe cumplirse que
$\vec a = \vec \alpha \times \vec R(P)$.


Ahora, tomando la fuerza perpendicular al vector que va de P a C (cuyo modulo es
$d_p$, y tomando el punto de aplicacion de la fuerza a una distancia $d_a$ del centro de masas, para un solido rigido cualquiera, tenemos, en modulos,

Fuerza: $F = m a$

Momento: $M = F d_a = I \alpha$

Condicion de que p este quieto: $a = \alpha d_p$


De estas expresiones se llega a que $d_a d_p = I/m$

donde I es el momento de inercia del objeto, medido desde el centro de masas, y
m la masa total.

En tu ejemplo, si ignoramos la masa de la cabeza de la cerilla , resulta que

$x=L/4$

Te dejo que hagas el caso general.

[[Beto]]

Re: Golpe a un fosforo

Hola.

En tu ejemplo, si ignoramos la masa de la cabeza de la cerilla , resulta que

$x=L/4$

Gracias, aunque si no me equivoco ignorando la masa de la cerilla a mi me queda que $\dst x=\frac{L}{3}$

[[Beto]]

Re: Golpe a un fosforo

Hola polonio,

Se me ha hecho más fácil así como ha planteado la solución carroza, aunque seria bueno ver tu solución, para entender mejor la idea que planteas, esto porque supongo que la forma en que use la idea que me has dado no esta del todo bien

[carroza]

Re: Golpe a un fosforo

Gracias, aunque si no me equivoco ignorando la masa de la cerilla a mi me queda que $\dst x=\frac{L}{3}$

Tienes razon. Me equivoque considerando que el momento de inercia de la barra era
I=1/2m (L/2)^2, cuando en realidad es I=1/3 m (L/2)^2.

En cualquier caso, el resultado x=L/3 es valido en general, sea cual sea la masa de la cabeza de la cerilla.