1r ciclo v(t) derivada e integral

[Zhisi]

Hola. Estoy intentando hacer el siguiente ejercicio, pero no entiendo el enunciado donde pone

con la variable t en s , el argumento de la función trigonométrica queda en radianes, y la velocidad se obtiene en Km/h

.

6. Una vez ha cruzado la vía, el rebaño de bisontes avanza por la pradera. Al desplazarse los animales en masa, la velocidad del grupo es irregular y presenta fluctuaciones, que se ajustan a la siguiente función de velocidad:

$v(t) = 50 + 12\cos (\frac{t}{ 30})$

(con la variable t en s , el argumento de la función trigonométrica queda en radianes, y la velocidad se obtiene en Km/h .
El instante t = 0 s coincide con el momento en que el rebaño termina de cruzar la vía).
Doce segundos después, unos cazadores de bisontes a caballo atraviesan la vía, persiguiendo a los animales. Los cazadores mantienen una velocidad constante de 50 Km/h .
a) Obtenga las funciones de aceleración y desplazamiento (desde que el rebaño cruza la vía) para los bisontes. Haga un dibujo cualitativo de todas ellas. ¿En qué instantes y posiciones alcanza el rebaño sus aceleraciones máximas? ¿Cuáles son las velocidades en los instantes de aceleración máxima?

He empezado por pasar v(t) a m/s dividiendolo entre 3,6:

$v(t) = \frac{50 + 12\cos (\frac{t}{ 30})}{3,6 }$

Después derivo para hallar la aceleración e integro para el desplazamiento y me queda esto:

$\frac{\mathrm{dv(t)} }{\mathrm{dt} }=\frac{-1}{9 }\sin \frac{t}{30 }$


$x(t) = \frac{50}{3.6 }t+\frac{12}{30*3.6 }\sin \frac{t}{ 30}$

Además no me queda claro cómo x(t) puede tener unidades de m porque 50*t son segundos.

Las preguntas de v max y a max dependen de los valores de cos y sen respectivamente, eso lo tengo claro.

El resto del problema lo dejo copiado pero de momento solo quiero solventar lo del apartado a)

b) Los rifles de los cazadores sólo son fiables a menos de 100 m de distancia. Obtén la
distancia entre los cazadores y el rebaño en función del tiempo y encuentra en qué tiempos y posiciones (respecto de la vía del tren) están a tiro los bisontes.

c) ¿Cuál es la velocidad media del rebaño?

Gracias por vuestra ayuda!!!!

[Cat_in_a_box]

Re: v(t) derivada e integral

Hola,

$x(t) = \frac{50}{3.6 }t+\frac{12}{30*3.6 }\sin \frac{t}{ 30}$

Yo no llego al mismo resultado que tú en la integral, échale un vistazo, a ver si me he equivocado al hacer los cálculos rápido:

$$\dst\int \left(\dst\frac{50+12\cos\left(\dst\frac{t}{30}\right)}{3.6}\right)\mathrm{d}t=\dst\frac{125}{9}\dst\int \mathrm{d}t+ \dst\frac{10}{3}\dst\int\cos\left(\dst\frac{t}{30}\right)\mathrm{d}t=\boxed{\boxed{\dst\frac{125t}{9}+100\sin\left(\dst\frac{t}{30}\right)}}$$

Para resolver la integral con el coseno, simplemente he hecho un cambio de variable:

$$\int \cos\left(\dst\frac{t}{30}\right)\mathrm{d}t ;\quad u=\dst\frac{t}{30}\wedge \mathrm{d}u=\dst\frac{1}{30}\Rightarrow 30\int \cos u \mathrm{d}u = 30\sin u+\mathrm{C}$$

$$\int\cos\left(\dst\frac{t}{30}\right)\mathrm{d}t=30\sin\left(\dst\frac{t}{30}\right)$$

Como ves, $x(t)$ me sale algo diferente a lo que tienes tú, vamos, sólo en lo que va delante del seno, lo de $125/9$ era por dejarlo más bonito que $50/3.6$. En este caso no he puesto la constante de integración, que es cero.

PD: la derivada para la aceleración sí que está bien


Saludos,

[Al2000]

Re: v(t) derivada e integral

Zhisi, permíteme el atrevimiento de sugerir que le des nombres a las constantes del problema y les asignes los valores del enunciado. Algo así como escribir que $v(t) = A + B \sin (t/\tau)$, con $A = 50\;\mathrm{km/h},\;\; B = 12\;\mathrm{km/h}$ y $\tau = 30\;\mathrm{s}$. Trabaja con letras y al momento de calcular los resultados numéricos introduce los apropiados factores de conversión. De esa manera el desarrollo es mas claro y elegante, es mas fácil rastrear un error y es reusable (en el caso de que te consigas muchas manadas de bisontes por ahí ).

Saludos,

Al

[Zhisi]

Re: v(t) derivada e integral

Voy a repasarlo esta noche y mañana respondo con los resultados.

Lo que dices tiene mucho sentido Al2000, gracias!

Gracias a los dos por responder tan rápido.

Ta mañana!

[Zhisi]

Re: v(t) derivada e integral

Buenas de nuevo.
He rehecho esa parte del ejercicio y me sale la integral como dices Cat_in_a_box. Aun así no entiendo como el resultado puede tener unidades de metro si hay una t multiplicando a 125/9. Tampoco me aclaro con eso de que la velocidad tiene unidades de km/h si t está en segundos.
Creo que me estoy obcecando, a ver si mañana en clase me lo aclaran...


Un saludo y gracias!!

[Ras]

Re: v(t) derivada e integral

...miedo me da mañana en clase

[Artos]

Re: v(t) derivada e integral

Buenas de nuevo.
He rehecho esa parte del ejercicio y me sale la integral como dices Cat_in_a_box. Aun así no entiendo como el resultado puede tener unidades de metro si hay una t multiplicando a 125/9. Tampoco me aclaro con eso de que la velocidad tiene unidades de km/h si t está en segundos.
Creo que me estoy obcecando, a ver si mañana en clase me lo aclaran...


Un saludo y gracias!!

el "secreto" por el cual el resultado puede darte en Km/h poniendo t en segundos esta en las constantes que multiplican cada termino, estas pueden tener unidades propias (como el caso de G, la constante de gravitacion universal, m^3/Kg.s^2), en v(t)=50 + 12 Cos(t/30) seguramente son 50Km/h, 12Km/h y 30 s/rad, de este modo, t/30 te da en radianes, el coseno es adimencional, al multiplicarlo por 12 Km/h te da en Km/h y lluego le sumas los 50Km/h.