Secundaria Distancias de los satélites de Saturno.

[jotadejuanpe]

Hola, hoy he estado intentando hacer un ejercicio de gravitación que dice así:

-El Apolo VII orbitó en torno a la Luna a una altura de su superficie de 113 km. Si la masa lunar es 0'012 veces la terrestre y su radio es 0'27 veces el terrestre, calcula:

a)El período de su órbita.

b)Su velocidad orbital y su velocidad angular.

Datos:${m}_{tierra }= 6* {10}^{24 } kg; {r}_{tierra} = 1'79* {10}^{6 } m; G= 6'67* {10}^{-11} \frac{N.{m}^{2} }{{kg}^{2 }}$

Y da como soluciones: a)7 113 s; b)$\omega = 1 618 m/s;$ c)$\omega = 8'8* {10}^{24 } rad/s$

En primer lugar he puesto cada dato en su lugar para que me sirvan en el problema:

1) El radio de la Luna:
${r}_{L } = 0'27 {r}_{T } = 0'27*6'37*{10}^{6 } = 1'79*{10}^{6 } m$

2) La masa de la Luna:
${m}_{L } =0'012{m}_{T }= 0'012*6*{10}^{24 } = 7'2*{10}^{22 } kg.$

3) He hallado r, es decir la distancia de la Luna a el satélite:
${r}_{Luna-Satelite } = 113000 + 1'79*{10}^{6 } = 1'903*{10}^{6 } m.$

a) Usando la 3ª ley de Kepler (${T}^{2 } = k* {r}^{3}$ ) y sabiendo que k, por la ley de gravitación universal es $k=\frac{4{\pi}^{2} }{G*{m}_{L} }$ he resuelto que:

$T=\sqrt{\frac{4{\pi}^{2} }{G*{m}_{L} } }$ y, dándole los valores de los datos que he sacado, tengo que esto me da 7526'77 s. Es decir, algo más de la solución que me da el libro.

Aunque son frecuentes las erratas en los libros de texto, creo que he hecho algo mal (intuición) y, por tanto, he aquí mi primera duda sobre la resolución de este problema.

b) ${F}_{C } = {F}_{G } = {m}_{APOLO } * {a}_{C } = {m}_{APOLO } * \frac{{v}^{2 } }{r } = G*\frac{{m}_{L } *{m}_{APOLO } }{{r}^{2 } }$

Con lo que se queda:

${v}^{2 } = G*\frac{{m}_{L }}{r }$

Y, sabiendo que$v=\omega *r$ , se nos queda:

${\omega}^{2 } * {r}^{2 } = G*\frac{{m}_{L } }{r } <br />$
Y, finalmente se me queda: $\omega = \sqrt{G*\frac{{m}_{L } }{r }}$

Donde sustituyendo los datos no me da nada parecido al resultado del libro.

A partir de ahí, me he dado por vencido porque he revisado mis cuentas una y otra vez y no veo ningún error. ¡Necesito un vistazo ajeno a mis ojos cansados! que me den al menos una pista para poder seguir este apartado y si puede ser el apartado siguiente (apartado c).

¡Gracias por vuestra atención!

[jotadejuanpe]

Re: Distancias de los satélites de Saturno.

Parece que no sé usar bien las herramientas para las ecuaciones, sorry se admiten clases para enseñarme a usarlo

[javier m]

Re: Distancias de los satélites de Saturno.

Parece que no sé usar bien las herramientas para las ecuaciones, sorry se admiten clases para enseñarme a usarlo

a todo las ecuaciones que pongas, encierralas en
para que sea mas facil, seleccionalas con el mouse y da clic en el boton

[jotadejuanpe]

Re: Distancias de los satélites de Saturno.

Ya está arreglado

[javier m]

Re: Distancias de los satélites de Saturno.

¿como pasas de ${\omega}^{2 } {r}^{2 } = G\frac{{m}_{L } }{r }$ a $\omega = \sqrt{G\frac{{m}_{L } }{r }}$ ? eso está mal despejado

y en la primera, cuando aplicas $T=\sqrt{\frac{4{\pi}^{2} }{G{m}_{L} } r^3}$ te aseguras de que ese $r$ no sea el radio de la luna sino mas bien el radio de la luna mas la distancia de la superficie de la luna al satelite?

[angel relativamente]

Re: Distancias de los satélites de Saturno.

En el apartado A, cuando dices:

he resuelto que: $T=\sqrt{\frac{4{\pi}^{2} }{G*{m}_{L} } }$

¿Dónde te metes el $r^3$?

Si lo que querías era decir:

$$T=\dst \sqrt{\frac{4{\pi}^{2} r^3}{G\cdot{m}_{L} } }$$

Y tienes en cuenta, como apunta javier, que $r=r_L+h$ , te ha de salir $7127\;s$


Respecto al apartado B, te lo complicas demasiado. Recuerda que la velocidad angular es:

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ medido en rad/s. Sabiendo el período, calculas la velocidad angular bien fácil. Por cierto, el resultado está mal. No sale $8.8 \cdot 10^{24} \; rad/s$ , eso sería una bestialidad. Literalmente quiere decir que el satélite da $1.4 \cdot 10^{24}$ vueltas por segundo así que imagínate. El resultado que da y que cuadra con la lógica es $8.8 \cdot 10^{-4}\; rad/s$

Y luego la velocidad lineal la calculas de modo:

$v=\omega r$

Recordando que $r=r_L+h$

DATO CURIOSO:

Si hubieses despejado el apartado b del modo que estabas haciendo, y hubieses despejado bien el último paso que te indica Javier, te hubiese quedado algo así:

$$\omega=\dst \sqrt{\dfrac{G\cdot m_L}{r^3}}$$

Eso lo podemos escribir del modo:

$$\omega= \boxed{\dst \sqrt{\dfrac{G\cdot m_L}{r^3}}}=\dst \sqrt{\dfrac{1}{\left(\dfrac{r^3}{G\cdot m_L}\right)}}=\dst \sqrt{\dfrac{4{\pi}^2}{\left(\dfrac{4{\pi}^2\cdot r^3}{G\cdot m_L}\right)}}=\dfrac{\sqrt{4{\pi}^2}}{\dst \sqrt{\dfrac{4{\pi}^2\cdot r^3}{G\cdot m_L}}}=\dfrac{2\pi}{\underbrace{\dst \sqrt{\dfrac{4{\pi}^2\cdot r^3}{G\cdot m_L}}}_{T}}=\boxed{\dfrac{2\pi}{T}}$$

Esta observación es para que te des cuenta de que por ambos métodos estás haciendo exactamente lo mismo, solo que por donde ibas estabas despejando lo que ya tenías despejado. Pero el resultado ha de ser el mismo, ambos métodos son válidos.
¡Un saludo!

[jotadejuanpe]

Re: Distancias de los satélites de Saturno.

Tenía bien despejado lo que me habéis dicho en la hoja (en los dos apartados), pero al ser la primera vez usando el LateX se me ha pasado.
Mi error había sido de cálculo y por eso lo que no me han salido son las cuentas...

¡Muchas gracias!