Secundaria Problema de Trayectoria del Vector Posicion

[YuichiMatz]

Sea r(t) = (4t^3 + t^2) i + 3t^4 j - 5t k
El vector posicion que describe la trayectoria de una particula que se mueve en el espacio. Determine:
a) d r(t) / dt
b) d^2 r(t) /dt^2
c) De una interpretación física a esta derivadas.

Ayudenme, he faltado dos clases y tengo problemas para resolverlo, me ayudaría si me explicaran a resolver problemas con los vectores de posicion con los de trayectoria.

[angel relativamente]

Re: Problema de Trayectoria del Vector Posicion

Bueno, te están pidiendo que derives. La regla general para derivar una función polinómica es:

$f(x)=a_1x^1+a_2x^2+\cdots + a_nx^n \quad \Rightarrow \quad f'(x)=a_1 + 2a_2x + \cdots + na_n x^{n-1}$

Para el apartado c, la derivada de la posición es la velocidad (instantánea), y la segunda derivada de la posición es la aceleración. Si dudas al derivar, pregunta.
¡Un saludo!

[YuichiMatz]

Re: Problema de Trayectoria del Vector Posicion

amigo, no es una funcion, es un vector o es igual?

[angel relativamente]

Re: Problema de Trayectoria del Vector Posicion

Te están dando la posición en función del tiempo. Nuestra variable aquí es la t. Está determinado por los 3 vectores unitarios (los 3 ejes del espacio) y todos ellos dependen del tiempo. Tendríamos que derivar en cada eje:

$\dfrac{\mathrm{d}r(t) }{\mathrm{d} t}=\dfrac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d} t}\hat{\imath}+\dfrac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} t}\hat{\jmath} +\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d} t}\hat{k}$

[ongam55]

Re: Problema de Trayectoria del Vector Posicion

Mira esta facilito

Sea r(t) = (4t^3 + t^2) i + 3t^4 j - 5t k el movimiento de una partícula

i j y k y son las componentes vectoriales, osea que en cada momento t, habra una cantidad para i, otra para j, y una para k.

pero... i, j , k son vectores unitarios que representan un vector en cada uno de los ejes (x y z) de magnitud 1. {Son las componentes en los ejes}

i j k las tomas como CONSTANTES,, y utilizas las reglas de derivacion comunes

ahora que queda claroo como se realiza, se derivan la funcion tomando las componentes como constantes,, y te queda:

d r(t) / dt = (12t^2 + 2t ) i + 12t j - 5k

Ahora para la segunda derivada simplemente se vuelve a derivar la primera derivada, obteniendo:

d^2 r(t) / dt^2 = (24t + 2) i + 12j - 5

La partícula se movia con una funcion vectorial, si t es el tiempo, por lo tanto la primera derivada es la velocidad (derivas el vector posicion con respecto al tiempo) y la seunda derivada es la aceleracion..
Sencillito C:

[ongam55]

Re: Problema de Trayectoria del Vector Posicion

i j k son las componentes vectoriales (las proyecciones en los ejes x y z) son un vector en direccion de cada uno de los ejes con magnitud 1,,,

Para derivarlos tomalos como CONSTANTES

Y utiliza las reglas de derivacion normales

r(t) = (4t^3 + t^2) i + 3t^4 j - 5t k

r'(t) = (12t^2 + 2t) i + 12t j - 5k

r''(t) = (24t + 2) i + 12 j - 5

Haci de sencillo, son simples derivadas

Ahora,, si derivas la posicion con respecto del tiempo obtienes la velocidad, y si la vuelves a derivar obtienes la aceleracion.

En vectores es LO MISMO derivas una funcion vectorial de la posicion y obtienes una funcion vectorial de la velocidad y lo mismo con la aceleracion

Sencillito.

[angel relativamente]

Re: Problema de Trayectoria del Vector Posicion

d r(t) / dt = (12t^2 + 2t ) i + 12t j - 5k

Esa derivada está mal hecha, sería:

$\dfrac{\mathrm{d}r(t) }{\mathrm{d} t}=v(t)=(12t^2+2t)\hat{\imath} + 12t^3 \hat{\jmath}-5\hat{k}$

d^2 r(t) / dt^2 = (24t + 2) i + 12j - 5

Esta está aun peor.

$\dfrac{\mathrm{d}^2r(t) }{\mathrm{d} t}=\dfrac{\mathrm{d}v(t) }{\mathrm{d} t}=a(t)=(24t+2)\hat{\imath} +36t^2 \hat{\jmath}$

¿Cómo se te ocurre poner un -5 por ahí suelto? ¿En qué dimensión está perdido?
Si tomas k como constante, 5k es constante y su derivada es 0.

¡Un saludo!

[YuichiMatz]

Re: Problema de Trayectoria del Vector Posicion

ahhh muy sencillo, graxx..

cuando se refiere a una interpretación física a estas derivadas, debo identificar qué derivadas son por ejemplo es velocidad, aceleracion etc?

Habrá una tabla con nombres de las derivadas?

[angel relativamente]

Re: Problema de Trayectoria del Vector Posicion

Las interpretaciones son por pura definición, no es que haya que estudiárselas de una tabla y luego recitarlas como un papagallo del mismo modo que se hacía de pequeño con las tablas de multiplicar. En una gráfica posición-tiempo, que dibuje por ejemplo una parábola, vemos que la pendiente de la recta tangente en un determinado punto es su velocidad. Quizá te convendría echarle un vistado a la justificación de la definición de derivada
Saludos

[YuichiMatz]

Re: Problema de Trayectoria del Vector Posicion

jaja ya veo.. no hay botón de gracias? igualmente gracias por la ayuda.

[ongam55]

Re: Problema de Trayectoria del Vector Posicion

jaj lo siento nadamas confundi las cosas, al menos quedo claro