Secundaria Momento de inercia

[Nabla]

Muy buenas. Tengo un par de problemillas respecto al momento de inercia.
El profesor nos explicó que el momento de inercia de un sólido rígido continuo es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
El problema está en que no hemos dado integrales, aunque por mi cuenta he aprendido a hacer cosas muy básicas. El concepto en sí lo entiendo, que es las infinitas sumas de los infinitos diferenciales de masa, cada uno con una distancia r al eje de giro diferente del resto. Pero no sé en qué problemas puedo aplicar esta fórmula, es decir, ¿tienen que darme r en función de m, para despues integrar esa función? Entiendo que, por el teorema de Barrow, se puede calcular el área de una función en un intervalo concreto integrando dicha función, sustituyendo el valor del límite superior en la función integrada y restando a esa sustitución el valor del límite inferior sustituido también en la función integrada. No obstante, ¿por qué en esta fórmula aparece la masa total como límite inferior, sin haber límite superior? También tenemos un apartado en el que se generaliza el momento de inercia de algunos cuerpos de composición homogénea, como pueden ser un cilindro sólido, una esfera maciza... Imagino que esas fórmulas se deducen integrando, pero no lo veo muy claro.

Muchas gracias de antemano y ya siento si las pregunta son extensas o absurdas, pero ando un poco perdido.

Un saludo

[angel relativamente]

Re: Momento de inercia

Hola Nabla. Lo primero de todo aclararte que la expresión correcta sería:

$$I={\dst {\int_Mr^2 \: dm}}$$

Y eso lo podemos escribir de modo CUANDO r ES UNA CONSTANTE:

$$I= \dst r^2{\int_M dm}$$

Muchas de las fórmulas de los principales momentos de inercia los puedes deducir. Por ejemplo, el momento de inercia de un Aro con respecto al eje del cilindro, que es:

$I=mr^2$

Como sabemos que:

$$I= {\dst r^2{\int_M dm}}$$

pues r es constante:

Y... ${\dst{\int_M dm}} =m$

entonces: $I=mr^2$

Así puedes deducir unas cuantas. Luego, cuando se trata del momento de inercia de una esfera y esas cosas ya habrá que hacer la integral de Riemann. A ver si alguien nos aclara un poco mejor este concepto
¡Un saludo!

[polonio]

Re: Momento de inercia

Hola Nabla. Lo primero de todo aclararte que la expresión correcta sería:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y eso lo podemos escribir de modo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pues no, Ángel. No puedes sacar $\dst r^2$ fuera de la integral en general. Eso sólo lo puedes hacer si todos los diferenciales de masa estuviesen a la misma distancia del eje.

La manera de expresar la distribución de masa de forma que se pueda integrar más o menos fácilmente sería a partir de la densidad de masa. Por ejemplo, si la masa está distribuida volumétricamente:

$$\dst \rho=\frac{\dd m}{\dd V}$$

Con lo que

$$I=\int_M r^2 \dd m=\int_V \rho r^2 \dd V$$

Ahora se toman las coordenadas convenientes para cada geometría (esféricas para esferas, conos,...; cilíndricas para cilindros, conos, discos,...; cartesianas para paralelepípedos, planos,...) y expresamos el elemento de volumen, la densidad (si no es uniforme) y el cuadrado de la distancia en estas coordenadas e integramos.

[Ulises7]

Re: Momento de inercia

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Esto no es cierto para todos los casos, sólo puedes sacar $r$ cuando ésta es una constante, en el caso del momento de inercia de un aro $r$ es una constante ya que es igual al radio del aro, por eso podemos sacar el término de la integral. En el caso de un cilindro macizo por ejemplo si quieres calcular el momento de inercia respecto a su eje tendrás que $r$ no es una constante sino que depende de la coordenada x, es decir:

$$I = \int_M \dst x^2 \dd m$$

Pero no sé en qué problemas puedo aplicar esta fórmula, es decir, ¿tienen que darme r en función de m, para despues integrar esa función? Entiendo que, por el teorema de Barrow, se puede calcular el área de una función en un intervalo concreto integrando dicha función, sustituyendo el valor del límite superior en la función integrada y restando a esa sustitución el valor del límite inferior sustituido también en la función integrada. No obstante, ¿por qué en esta fórmula aparece la masa total como límite inferior, sin haber límite superior? También tenemos un apartado en el que se generaliza el momento de inercia de algunos cuerpos de composición homogénea, como pueden ser un cilindro sólido, una esfera maciza... Imagino que esas fórmulas se deducen integrando, pero no lo veo muy claro.

Muchas gracias de antemano y ya siento si las pregunta son extensas o absurdas, pero ando un poco perdido.

Un saludo

A ver, ésta formula es aplicable a TODOS los problemas en que te pidan calcular momentos de inercia, ésta es su definición física y a partir de ésta puedes obtener el momento de inercia de cualquier cuerpo. Cabe decir que ésta expresión es para cuerpos continuos ( esferas, cilindros, aros, elipsoides,... ) si tienes un sistema discreto de partículas entonces sustituyes la integral por un sumatorio.

Para resolver la ecuación pues debes conocer la expresión de $r$, si es una constante como en el caso de un aro o no, y si éste es el caso entonces averiguar de qué coordenadas depende, es decir si r es $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ o depende de dos coordenadas o de una únicamente. Luego debes saber la distribución de masa del cuerpo, es decir si presenta una distribución de masa lineal, superficial o volúmica de alli obtienes los diferenciales de masa respectivos, a partir de las densidades respectivas ( densidad lineal $\lambda$, densidad superficial $\sigma$ , densidad volúmica $\rho$ ):

$$\dd m = \lambda \dd l$$

$$\dd m = \sigma \dd S$$

$$\dd m = \rho \dd V$$

Entonces por ejemplo si tienes una esfera maciza y quieres calcular I respecto al centro tienes:

$$I= \int_M r^2 \dd m = \int_V \rho r^2 \dd V$$

Ahora bien, si la esfera es homogénea ( su densidad es constante ) la densidad sale fuera de la integral:

$$I= \rho \int_V r^2 \dd V$$

Atención, en éste caso $r$ no es el radio de la esfera o la distancia radial a un diferencial de masa sino:

$$r = R \sin \theta$$

Donde $\theta$ es el ángulo que barre $R$ hasta el eje z, mirad coordenadas esféricas, ahora sí $R$ es el radio de la esfera y $r$ la distancia del eje hasta el diferencial de masa arbitrario.

Por tanto:

$$I= \rho R^2 \int_V \sin^2 \theta \dd V$$

Y ya sólo te resta resolver ésa integral que ya verás como se hace en la asignatura de cálculo de varias variables.

Respecto al subíndice no está indicando límites de integración sino simplemente indica que tienes que sumar todos los diferenciales de masa que forman el cuerpo, pero implícitamente es una integral definida que dependiendo del cuerpo los límites de integración varian.


Saludos.

[angel relativamente]

Re: Momento de inercia

Pues no, Ángel. No puedes sacar $r^2$ fuera de la integral en general. Eso sólo lo puedes hacer si todos los diferenciales de masa estuviesen a la misma distancia del eje.

De hecho, son justamente tus palabras las que tengo en mis apuntes. Siento no haber especificado. Corregido, gracias

[Nabla]

Re: Momento de inercia

Hola Nabla. Lo primero de todo aclararte que la expresión correcta sería:

$$I={\dst {\int_Mr^2 \: dm}}$$

Cierto, gracias por el apunte, se me coló no poner la $I$. Creo que ya me queda bastante más claro, pero hay una cosa que no entiendo. ¿Por qué en este caso $dm$ no indica la variable respecto a la que se integra, como sí ocurre al buscar una primitiva del tipo $\dst {\int8x^2 \: dx}$ , es decir, ¿por qué en este caso sustituimos $dm$ por su expresión correspondiente en vez de simplemente indicar la variable respecto a la que se integra?

Y ya sólo te resta resolver ésa integral que ya verás como se hace en la asignatura de cálculo de varias variables.

Ahora entiendo por qué el profesor no ahondó mucho más en la cuestión, estando en 2º de Bachillerato
Muchas gracias por vuestras respuestas.

[Ulises7]

Re: Momento de inercia

¿Por qué en este caso $dm$ no indica la variable respecto a la que se integra, como sí ocurre al buscar una primitiva del tipo $\dst {\int8x^2 \: dx}$ , es decir, ¿por qué en este caso sustituimos $dm$ por su expresión correspondiente en vez de simplemente indicar la variable respecto a la que se integra?

$\dd m$ sí que es la variable respecto a la que se integra...

El momento de inercia está dado tanto por la masa que forma el cuerpo como la distribución de ésta en su volumen, por eso el término $r^2$ está dentro de la integral, no se integra el diferencial de masa directamente porque éste está relacionado con la distancia al eje/ plano / punto ( los momentos de inercia se pueden calcular respecto a ejes / planos / puntos ), por eso se utiliza las densidades respectivas para relacionar $r$ con $\dd m$.

Saludos.