Ángulo en el que se deja de tener contacto

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Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto



Ahí va el dibujo para salir de dudas...

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Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Pues según mi dibujo no

Puedes expresarlo en función del seno, pero lo que he hecho ha sido esto:

$$h_A=R\sin\left(\dst\frac{\pi}{2}-\theta\right)=R\cos\theta$$

Por simplificar las cosas, vaya

[angel relativamente]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Vaya, después de estar 1 hora con el problema veo que se me adelantó el gato. Estamos en paz por las veces que me he adelantado yo

$h_A=R\cos\theta$

¿No sería $h_A=R\sin\theta$?

Así he ido operando yo, y he llegado a:

$\cos \theta =2-2\sin \theta$

Que despejando queda (si no he operado mal ya que he ido muy rápido):

$\theta=\arccos\left(\dfrac 45\right)$

¿Me confundo yo o te confundes tú? ¿O nos confundimos los dos?
¡Saludos!
Ángel

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Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Hola warmetal,

Para que te guíes en la resolución que te propongo, voy a fijar el origen en el centro del circulo, es decir, voy a tratar el problema como un movimiento en dos dimensiones, es decir, consideraré la masa m como una partícula puntual que se desliza por la superficie esférica pero sin rodar. De igual modo, ya que el enunciado no dice nada, supondré que hay rozamiento.

Por tanto, ya que no actúan fuerzas disipativas, podemos aplicar el principio de conservación de la energía mecánica. Veamos, en el punto O, en la cima de la cúpula, la masa m tendrá cierta energía potencial. A medida que vaya descendiendo, esta energía potencial se irá transformando en energía cinética. Llamemos A al punto en el cual la partícula deja de estar en contacto con la cúpula. En dicho punto, la partícula tendrá tanto energía cinética como potencial. Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, tenemos que:

$$E_{m_{0}}=E_{m_{A}}\Rightarrow E_{p_{0}}=E_{p_{A}}+ E_{c_{A}} \Rightarrow \not{m}gh_0=\not{m}gh_A+\dst\frac{1}{2} \not{m} v^2_A$$

La altura en el punto A la obtienes fácilmente por trigonometría, y de acuerdo a mi sistema de referencia (y origen de potenciales), dicha altura es:

$$h_A=R\cos\theta$$

De modo que si sustituimos (2) en (1), tenemos que:

$$gR=gR\cos\theta+\dst\frac{v^2_A}{2}$$

Ahora viene lo que has hecho, descomponer el peso. Como bien dices, en el punto A (no exactamente a la mitad de la semiesfera), la fuerza centrípeta será igual a la componente normal del peso. Recuerda que la condición para que deje de estar en contacto con la superficie es que la normal en dicho punto sea cero. De modo que obtienes la siguiente relación:

$$\not{m}g\cos\theta=\not{m}\dst\frac{v^2_A}{R}\Rightarrow g\cos\theta=\dst\frac{v^2_A}{R}$$

Por tanto, la energía mecánica en el punto A, donde se separa es, es:

$$v^2_A=Rg\cos\theta \Rightarrow E_{m_{A}}=mg\cos\theta R+\dst\frac{1}{2} mRg\cos\theta$$

Y como la energía se conserva, iguala a la energía potencial que tenía en O:

$$E_{m_0}}=E_{m_{A}} \Rightarrow Rg=g\cos\theta R + \dst\frac{Rg\cos\theta}{2}\Rightarrow \not{2R g}=\not{2Rg}\cos\theta +\not{Rg}\cos\theta$$

De donde obtienes finalmente:

$$2=2\cos\theta+\cos\theta\Rightarrow 3\cos\theta=2\Rightarrow \boxed{\boxed{\cos\theta=\dst\frac{2}{3}}}$$

El ángulo lo calculas ya fácilmente, pero la relación es esa. Si tienes alguna duda con el sistema de referencia o la notación pregunta y te adjunto un dibujito si no lo ves muy claro. Espero que el enunciado sea ese y no intervengan cosas como el rozamiento, que si la masa rueda, etc etc.

Saludos,

PD: ¡todo esto está calculado para un ángulo respecto a la vertical! ¡Ojo! Mira la respuesta de Ángel.

[warmetal]

Una masa m está colocada sobre una cúpula semiesférica de hielo cuyo radio es R. Si empieza a resbalar desde el reposo, ¿en qué valor del ángulo que forma R con la horizontal deja de tener contacto con el hielo?

He impuesto como condición que la componente del peso dirigida hacia la mitad de la semiesfera sea igual a mv^2/R, con lo que me ha quedado una expresión de la energía en la que aparece sólo la masa, g, R y el seno del ángulo.

Mi pregunta es con qué tengo que igualar para despejar el seno. Es decir, qué debe de cumplir la expresión que he hallado mientras está en contacto el cuerpo con la cúpula.

Gracias!