Ángulo en el que se deja de tener contacto

[Cat_in_a_box]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Muchas gracias, Ángel, tan atento como siempre. Madre mia, en (5) y (6) he desvariado un poco. Ahora que lo pienso, podría verse de otro modo (7):

$$a_t = \frac{\dd v}{\dd t} = \frac{\dd v}{\dd \theta} \frac{\dd \theta}{\dd t} = \frac{\dd v}{\dd \theta}\omega = \frac{\dd v}{\dd \theta}\frac{v}{r}\$$

Aplicación pura y dura de la regla de la cadena, pero bueno, mejor lo dejo así y me voy a descansar

Saludos,

[Nightcrow]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Gracias por la resolución!

- Una última cosa y no molesto más... Con qué programa editas los diagramas? (la semiesfera, la partícula, las fuerzas)

[Al2000]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

...
Sustituyendo tenemos la siguiente integral:

$$\dst\int_{0}^{v_A}\mathrm{d}v=\dst\frac{g}{\omega}\dst\int_0^{\theta_A}\sin\theta\mathrm{d}\theta\Rightarrow \dst\int_{0}^{v_A}\omega\mathrm{d}v=g\dst\int_{0}^{\theta_A}\sin\theta\mathrm{d}\theta$$

Teniendo en cuenta la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular, tenemos que:

$$v=\omega R\Rightarrow \omega=\dst\frac{v}{R}\Rightarrow \boxed{\dst\int_{0}^{v_A}\dst\frac{v}{R}\mathrm{d}v=g\dst\int_{0}^{\theta_A}\sin\theta\mathrm{d}\theta}$$

...

Felino amigo, aquí tienes formalmente un error, al "sacar" $\omega$ de la integral como si fuese constante con el ángulo. El error lo corriges en la misma línea al dejar $\omega$ bajo el signo de la integral en función de la velocidad.

Diría yo que es sólo una cuestión de forma. Debías haber separado variables primero y luego integrar.

Saludos,

Al

[Jose D. Escobedo]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Hola, Cat_in_a_box

La resolución dinámica puede ser mas sencilla si se trabaja únicamente en coordenadas polares ( sin olvidar las condición de desprendimiento y las condiciones iniciales )

De: $N\hat{e_r}- m g \hat{ j} =mr \ddot \phi \hat{e_\phi}-mr {\dot \phi }^{2 } \hat{e_r}$...(1)
se proyecta radial y tangencialmente con ayuda del producto punto $(1) \cdot \hat{e_r}$ y $(1) \cdot \hat{e_\phi }$ de lo cual se obtiene:
$N-mg\hat{j} \cdot \hat{e_r} =-mr{\dot \phi }^{ 2}$...(2)
$-mg\hat{j} \cdot \hat{e_\phi}=mr \ddot \phi$...(3)
En (2) la condición de desprendimiento es: $N=0$ y que al proyectar $\hat{j}\cdot \hat{e_r}=\sin \phi \Rightarrow$
de (2) se obtiene:
$g \sin \phi =r {\dot \phi }^{2 }$ ...(2')
De (3)
$\dst -g\cos \phi =r \ddot \phi =r\dot \phi \frac{d \dot \phi }{d \phi } \Rightarrow$
$\dst -\int_\frac{\pi}{2 }^\phi g \cos \phi d \phi =\int_0^{\dot \phi} r \dot \phi d \dot \phi$ con las condiciones iniciales a $\dst \phi_o =\frac{\pi}{2 }$ y $\dot \phi_o =0$
se obtiene:
$\dst -g \sin \phi + g=r\frac{{\dot \phi }^{ 2} }{ 2}$...(3')
Finalmente de (2') y (3') se obtiene que:
$\dst \sin \phi =\frac{2}{ 3}$

Saludos
Jose

[Cat_in_a_box]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

1. Tienes toda la razón, Al, la verdad es que formalmente no es correcto. Debería haber separado variables y luego integrar, como tú apuntas. O también, podría ''meter'' la expresión a la que llego en mi anterior post en la de la aceleración tangencial, y ahí integrar tranquilamente, es decir:

$$a_t = \frac{\dd v}{\dd t} = \frac{\dd v}{\dd \theta} \frac{\dd \theta}{\dd t} = \frac{\dd v}{\dd \theta}\omega = \frac{\dd v}{\dd \theta}\frac{v}{r}\$$

$$a_t=g\sin\theta\Rightarrow g\sin\theta=\frac{\dd v}{\dd \theta}\frac{v}{r}$$

De tal modo, que ahí separando variables:

$$\dst\frac{v}{r}\mathrm{d}v=g\sin\theta\mathrm{d}\theta\Rightarrow \boxed{\dst\frac{1}{r}\dst\int_{0}^{v_A}v\mathrm{d}v=g\dst\int_{0}^{\theta_A}\sin\theta\mathrm{d}\theta}$$

Que es justamente lo que puse en mi primer post. Yo diría que queda mucho mejor así

Gracias José por tu resolución, me ha llevado un rato entenderla bien, ya que nunca he hecho un problema de este tipo en coordenadas polares, pero siempre viene bien aprender nuevos métodos

Una última cosa y no molesto más... Con qué programa editas los diagramas? (la semiesfera, la partícula, las fuerzas)

Pues aunque sea del todo cutre, lo suelo hacer con las formas del Word, y sobre todo, mucha paciencia

Saludos,