1r ciclo Tren gravitacional que no pasa por el centro de la Tierra

[bolorsociedad]

Hola:

El otro día estuve leyendo sobre el Tren gravitacional (http://es.wikipedia.org/wiki/Tren_gravitacional) y me pregunté si pasaría lo mismo si el túnel no pasase por el centro. Y llegué a esta conclusión:



$sin \phi = \frac {l-h}{r}\Rightarrow r=\frac{l-h}{sin \phi}$

$sin \phi _0 = \frac{l}{R} \Rightarrow \phi _0 = arcsin(\frac{l}{R})$

Por lo tanto, tenemos que:

$sin \phi = \frac {l-h}{r}$ (1)

Además,

$cos \phi = \frac{a}{r}$ (2)

Dividiendo (1) entre (2) tenemos que:

$tg \phi = \frac{l-h}{a}$

$\phi = arctg (\frac{l-h}{a})$

Sustituyendo tenemos:

$cos (arctg(\frac {l-h}{a})) = \frac{a}{r}$

$\dfrac{1}{\sqrt[] {1+(\frac{l-h}{a})^2}}=\dfrac{a}{r}$

Simplificando:

$a^2+(l-h)^2=r^2$

Si h=0, entonces r=R:

$a^2+l^2=R^2$

$a^2=R^2 - l^2$

Sustituyendo:

$R^2-l^2+(l-h)^2=r^2$

$r=\sqrt[] {R^2 - l^2 + (l-h)^2}$

Por otro lado, la aceleración de la gravedad en una profundidad dada, h, será:

$g(h)=g (1-\frac{h}{R})=g(1-\frac{R-x}{R})=g \cdot \frac {y}{R}$

Donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie e y es la posición del objeto.



Si descomponemos la aceleración en el eje Y y en el eje X y teniendo en cuenta la semejanza en los triángulos, tenemos que:

$\dfrac{l-h}{a_{gy}}=\dfrac{r}{a_g}$

$a_{gy}=\dfrac{(l-h)a_g}{r}$

La aceleración también será:

$a_g = g (1-\frac{h}{R}) = g (1-\frac{R-r}{R})=g \frac{r}{R}$

Por lo tanto:

$a_{gy}=\dfrac{(l-h)g}{R}$

Considerando que el objeto hace un movimiento armónico simple, tenemos que:

$F=kx$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Igualando:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como y=l-h, donde y es la posición del objeto:

$\omega ^2 = \frac{g}{R}$

Sabiendo que $\omega = \frac{2\pi}{T}$ y simplificando:

$T=2\pi \sqrt[]{\frac{R}{g}}$

Como sólo necesitamos un viaje de ida, el tiempo total empleado en ir desde el punto A hasta el punto B de un planeta por un túnel recto será:

$t_{total}=\frac{T}{2}=\pi \sqrt[]{\frac{R}{g}}$ (en segundos)

Por lo tanto, el tiempo empleado en llegar del punto A al punto B no depende de la distancia entre los dos puntos. Sin embargo, la velocidad máxima sí que dependerá de la distancia entre los puntos. En el caso de la tierra, el tiempo empleado sería de unos 42 minutos. Sin embargo, habría que evitar la fricción, por lo que el túnel tendría que estar al vacío y, además, habría que evitar la fricción con la pared y la aceleración gravitacional en el eje X. Esto se podría hacer cubriendo el túnel con imanes y utilizando un material superconductor como objeto. Esto se debe al Efecto Meissner:

http://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Meissner

[bolorsociedad]

Re: Tren gravitacional que no pasa por el centro de la Tierra

¿Nadie me puede decir si está bien o no?

[angel relativamente]

Re: Tren gravitacional que no pasa por el centro de la Tierra

¿Nadie me puede decir si está bien o no?

Es que como no preguntaste nada pues pensábamos que tan solo querías mostrarnos una preciosa información

Ahora le echo un vistazo a ver, parece interesante.
Saludos

[bolorsociedad]

Re: Tren gravitacional que no pasa por el centro de la Tierra

PD: No se entienden muy bien las imágenes y por ello no puedo seguir muy bien el planteamiento, pero una cosa es segura:



Esa afirmación no puede ser cierta. Tiene que depender, aunque sea implícitamente, de dicha distancia. Si no estarías afirmando que fueren cuales fuesen las dimensiones del túnel el cuerpo tardaría lo mismo, lo cual es absurdo.
¡Saludos!

Si la distancia entre los puntos A y B es grande, entonces la aceleración de la gravedadad el eje OY es relativamente grande. Si, por otro lado, la distancia entre A y B en línea recta es pequeña, la aceleración de la gravedad en el eje OY es relativamente pequeña. Haciendo los cálculos, me sale que el tiempo empleado no depende de la distancia entre A y B. Sin embargo, es posible que haya cometido algún fallo en los cálculos.

PD: El eje OX en el dibujo, por si no se ve bien, es la mediatriz de A y B, que pasa por el centro del planeta. El eje OY también pasa por el centro del planeta y es perpendicular a OX. Por lo tanto, cuanto menor sea la distancia entre A y B, menor será el ángulo producido por el punto A, el centro del planeta y el eje OX, y por lo tanto la aceleración en el eje OY será menor. Pero, como ya he mencionado antes, es posible que haya hecho mal los cálculos. Lo que sí sé es que tiene sentido cuando A y B están en direcciones opuestas (y por lo tanto el túnel pasa por el centro de la tierra), ya que tarda 42 minutos, que es exactamente lo que tarda en viajar del punto A al punto B un tren gravitacional que pasa por el centro del planeta (en el caso de la Tierra).

[aldevaran]

Re: Tren gravitacional que no pasa por el centro de la Tierra

siempre, aunque no pase por el centro, tarda exactamente 42 minutos

[bolorsociedad]

Re: Tren gravitacional que no pasa por el centro de la Tierra

siempre, aunque no pase por el centro, tarda exactamente 42 minutos

Eso es lo que demuestro aquí.

[Al2000]

Re: Tren gravitacional que no pasa por el centro de la Tierra

Puedes hacer la demostración mucho mas sencilla si expresas la aceleración de gravedad en función de la distancia al centro del planeta. Para una esfera de radio $R$ y con masa $M$ distribuida uniformemente, la aceleración debida a la gravedad en un punto interior viene dada por

$$g = G \frac M {R^3} r = g_s \frac r R$$

La componente de esta aceleración a lo largo del tunel sería

$$a = g \, \mathrm {sen} \, \varphi = \left(g_s \frac r R\right) \left(\frac x r\right ) = \frac {g_s} R x$$

donde $\varphi , \,x$ se miden desde el punto medio del tunel. Entonces queda la ecuación diferencial

$$\frac {d^2 x}{dt^2} - \frac {g_s} R x = 0$$

de la cual, por comparación con la ecuación diferencial de un MAS, concluimos que un cuerpo liberado en el interior del tunel y que no experimente ninguna fricción con las paredes, se movería con un MAS de frecuencia angular

$$\omega = \sqrt {\frac {g_s} R}$$

Saludos,

Al

PD. Perdón por el signo incorrecto en la aceleración que debería ser negativa pues la fuerza es restauradora