1r ciclo dudas sobre trabajo y energia

[pedro116]

[FONT=Times New Roman][FONT=Times New Roman]ola, hay varias cosas que no comprendo y me gustaria que me echaseis una mano:[/FONT]
[FONT=Times New Roman]1.-En el teorema del trabajo, [FONT=Times New Roman][FONT=Times New Roman]la realización de la integral de [/FONT][/FONT][FONT=Times New Roman][FONT=Times New Roman]camino requiere un proceso antes de poder calcularla como una integral definida convencional.[/FONT][/FONT][/FONT][FONT=Times New Roman]

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[/FONT]2.-Las energías potenciales son aditivas, la energía potencial total para un objeto sobre el que sólo actúan fuerzas conservativas es la suma de las energías potenciales asociadas a cada fuerza.

3.-[FONT=Times New Roman][FONT=Times New Roman]Todas las fuerzas que son función de una sola variable cartesiana son conservativas[/FONT][/FONT][FONT=Times New Roman]

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[FONT=Times New Roman][FONT=Times New Roman][FONT=Times New Roman][FONT=Times New Roman]4.-Todas las fuerzas centrales que son función exclusivamente del módulo de la distancia al centro son conservativas.[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT]

[FONT=Times New Roman][FONT=Times New Roman][FONT=Times New Roman][FONT=Times New Roman]gracias [/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][FONT=Times New Roman][FONT=Times New Roman][FONT=Times New Roman]

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[arivasm]

Re: dudas sobre trabajo y energia

1.-En el teorema del trabajo, la realización de la integral de camino requiere un proceso antes de poder calcularla como una integral definida convencional.

Sobre la primera pregunta. El teorema del trabajo es una consecuencia de la segunda ley de Newton: el trabajo que realiza la fuerza resultante que actúa sobre una partícula será

$\int \vec{F}\cdot\dd \vec{r} = \int m \vec{a} \cdot\dd \vec r = m \int \frac{\dd \vec v}{\dd t}\cdot \dd \vec r = m \int \vec{v}\cdot \dd \vec{v} = \frac{m}{2} \int \dd {v^2} = \Delta \left( \frac{1}{2} m v^2 \right)$

En mi opinión, todo eso es una simple demostración y no un proceso que haya que hacer o algo así. Claro que quizá no haya entendido bien tu duda. Por cierto que destacaré que, como ves, no es una integral de camino o, más bien, que gracias a la 2ª ley no influye el camino.

Sobre las demás. Conviene que recordemos las relaciones que existen entre energía potencial (yo la llamaré U y emplearé subíndices, puesto que tú hablas de varias fuerzas, para distinguirlas) y la fuerza correspondiente. Por una parte, si conocemos la energía potencial, la fuerza es $\vec{F_i}=-\vec{\nabla}U_i$ donde $\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$, es decir, es un operador de derivación (el operador gradiente). Si, al revés, conocemos la fuerza conservativa y queremos encontrar una de las energías potenciales posibles (recuerda que todas ellas se diferencian en una constante) tenemos que resolver la integral $U_i = \int \vec{F_i}\cdot \dd \vec{r}$ a lo largo de cualquier camino que nos lleve desde un punto arbitrario hasta otro que tomemos como origen de la energía potencial (precisamente, las diferentes constantes a las que me referí antes se corresponden con las diferentes posibles elecciones para este punto -o, si se prefiere, al revés-).

2.-Las energías potenciales son aditivas, la energía potencial total para un objeto sobre el que sólo actúan fuerzas conservativas es la suma de las energías potenciales asociadas a cada fuerza.

La razón de ello es que si $\vec{F} = \sum_i \vec{F_i}$, por la propiedad distributiva del producto escalar y la de que la integral de una suma es igual a la suma de integrales, entonces $\int \vec{F}\cdot \dd \vec{r} = \sum_i \int \vec{F_i}\cdot \dd \vec{r}$

También podemos verlo fácilmente dándole la vuelta: si la energía potencial es una suma de términos, al aplicarle el gradiente obtendremos la suma de los gradientes (la derivada de una suma es la suma de las derivadas): la fuerza que corresponde a la primera energía potencial de la que acabo de hablar será la suma de las fuerzas correspondientes a las energías potenciales que son los sumandos de la misma.

3.-Todas las fuerzas que son función de una sola variable cartesiana son conservativas

La razón de esto es cómo hacemos los productos escalares. Supongamos que la coordenada cartesiana a la que te refieres es la x. Entonces $\vec{F_i}\cdot\dd \vec{r} = F_x(x)\dd x$ y entonces está claro que la energía potencial estará relacionada con la primitiva de la función $F_x(x)$ (en realidad será la primitiva cambiada de signo, por cómo definimos antes que hacíamos la integral: *desde* el punto arbitrario hasta el de referencia, y no al revés).

4.-Todas las fuerzas centrales que son función exclusivamente del módulo de la distancia al centro son conservativas.

La manera más sencilla de ver esto es emplear coordenadas polares (en 2D) o esféricas (en 3D) tomando el origen en el centro de fuerzas. Es bastante fácil ver que en este caso el producto escalar será $\vec{F_i}\cdot\dd \vec{r} = F_r(r)\dd r$, con lo que estaremos en el mismo caso de antes: la energía potencial será la opuesta de la primitiva de $F_r(r)$.