1r ciclo Problema de una varilla

[hennin]

Una varilla de densidad uniforme de masa 2m y de longitud L está en reposo en una mesa. La fuerza de rozamiento es nula en todo momento. Una bola de masa m y de velocidad v se incrusta justo en su extremo de manera perpendicular. Hallar la velocidad angular, la variación de la energía cinética y la posición del punto de la barra que permanece estacionario en el sistema laboratorio.

Para hallar w, aplico la conservación del momento angular.

L(o)=mvrsen90=L(f)=I*w

Despejando w, y sabiendo que I=I(varilla)+I(bola)=2/3mL^2+mL^2=5/3mL^2

Ahora, la variación de la Ec=Ec(f)-Ec(0)
Está claro que Ec(o)=1/2mv^2, y que en la final habrá Ec=1/2Iw^2; pero habrá traslación? (teóricamente si le das justo en el extremo es como "aplicar" un momento de fuerza, pero si se queda incrustada la masa y se conserva p, no debería trasladarse¿?)

Y el ultimo apartado sería calcular el centro de masas x(CM)=2/3L

¿Hay alguna incorreción? Gracias de antemano

[Cromwell]

Re: Problema de una varilla

Creo que deberías considerar la cantidad de movimiento antes y después de que la bola se incruste.

[Cromwell]

Re: Problema de una varilla

Del conjunto varilla,bola

[polonio]

Re: Problema de una varilla

De acuerdo con Cromwell. Verás que el centro de masas de la varilla con la bola incrustada debe desplazarse (como bien intuyes).

[hennin]

Re: Problema de una varilla

Vale, entonces v(final)=v(inicial)/3.
El resto está bien¿?

[polonio]

Re: Problema de una varilla

¿Has tenido en cuenta al final tanto la energía cinética de rotación como la de traslación?

[hennin]

Re: Problema de una varilla

Sí. Escribo los resultados que me dan:

a) mvrsen90=Iw;
I=ML^2+2/3ML^2=5/3ML^2

w=3/5*v/L

b) Ec(o)=1/2MV^2

Ec(f)=Ec(rot)+Ec(tras);

Ec(tras)=1/2*3M*v'^2=MV^2/54
(por conservación de p; v'=v/3)
Ec(rot)=1/2Iw^2 (me ha surgido una duda, aquí sustituyo el momento de inercia antes calculado pero en w salen resultados distintos de si sutituyo por la w de a) que si sustituyo por w=v'/L; pero creo q debo sustituirla por la del apartado de a).
Entonces, Ec(rot)=3/10MV^2
Variación de Ec=Ec(f)-Ec(o)=-49/270MV^2

c) X(CM)=2/3L

[carmelo]

Re: Problema de una varilla

Hola:

Yo obtengo distintas respuestas.
a) Conservación del momento cinético (Tomo como referencia el cm después de la colisión).

$L_i=mv\frac L3$
$L_f=I_{cm}\omega=m (\frac L3)^2+\frac 13 2m L^2+ 2m(\frac L 6)^2\omega=\frac56mL^2\omega$
Igualando se llega a:
$\omega = \frac25\frac v L$
b) $K_i=\frac12mv^2$
$K_f=\frac12 3m (\frac v 3)^2+\frac 12 \frac 56 mL^2 (\frac {2v}{5L})^2=\frac 7 {30}mv^2$
$\Delta K = \frac 4 {15}mv^2$

Nota, Ver corrección hecha mas adelante, no lo hago aca mismo para que no se pierda el hilo de la discusión

Saludos
Carmelo

[xXminombreXx]

Re: Problema de una varilla

Vamos a ver si sale, que yo también tengo este en mi relación de problemas. (complutense, ¿eh? xDD)

Como pones:
$\left\vert{} L\right\vert{}= rmv = I\omega$

El momento de inercia de una varilla delgada, con eje de rotación en el centro, es $\frac{1}{12}ml^2$ Hay que sumarle la masa incrustada.

$\frac{1}{12}2ml^2 + m {\left( \frac{l}{2}\right)}^2 = \frac{5}{12}ml^2$

La v final la sacamos por la conservación de momento, y sale v/3. Ahora el problem es que r usar en L = mrv, ya que al incrustarse el centro se desplaza, yo supongo que como girará (Evidentemente), con respecto al centro de masas, habrá que usar ese, así que considero el centro de masas nuevo como origen. Para hallaro hallo el centro de masas de dos partículas, una en el centro de masas de la varilla de masa 2m, y otra en el extremo de masa m. No estoy seguro de que esté bien pero tiene algo de lógica, así que sale un centro de masas desplazado: $\frac{1}{3m}\sum{(m_i * r_i)}$ Para hallarlo tomamos origen en la masa de 2m, y sale una longitud de 1/6l, Es decir, desplazado un sexto de la longitud total de la varilla a la derecha desde el centro de masas original. Si voy operando llego a una velocidad angular de 4/5*v/l.

Me gustaría que carmelo explicase un poco más, porque no entiendo muy bien lo que hace. Yo tamién cojo de referencia el centro de masas después de colisionar, uso la masas total (3m), y la velocidad nueva (v/3), y llego a 4/5

[hennin]

Re: Problema de una varilla

Me faltó decir que tomé como origen el extremo opuesto de la varilla al que impactó. Por tanto I(varilla)=1/3ML^2

Carmelo, de donde sacas que L(inicial)=mvL/3.

[carmelo]

Re: Problema de una varilla

Hola:

Como te dije en mi post, yo tomo el origen para tomar el momento cinético el centro de masas final, que se ubica perpendicularmente a $\dst\frac L 3$ de la trayectoria que realiza la masa m. Si se toma otro origen aparte del momento cinético de rotación se debe de incluir el momento cinético debido a la traslación del centro de masas del sistema respecto al origen elegido.

xXminombreXx el momento de inercia que tu pones es con respecto al centro de masa de la varilla y no del sistema final, de ahi la diferencia. Debes de usar Steiner para obtenerlo.

Leyendo mas detenidamente lo que pusistes para calcular el centro del sistema combinado, eso no es correcto.

Debo de reconocer que cometi el error de tomar el momento de inercia de la varilla respecto de su centro de masa como $\dst\frac13mL^2$ cuando debí de tomar $\dst\frac 1{12}$.
Espero puedan rehacer los cálculos, pero con esta salvedad se obtiene para a:
$\omega = \dst\frac v L$
$\Delta K = \dst\frac16mv^2$

De todos modos no vendría mal que alguien lo verificara, cuando se comienza con una seguidilla de desatenciones no se sabe donde se termina, jeje.

Saludos
Carmelo

[xXminombreXx]

Re: Problema de una varilla

Vamos a ver qué co** estoy haciendo, ahora me sale, calculando TODO con respecto nuevo centro de masas, 36/33 *v/l

Momento de inercia con respecto al medio:
$\frac{2}{12}ml^2 = \frac{1}{6}ml^2$

Ahora por Steiner lo sacamos del centro de masas nuevo:

$\frac{1}{6}ml^2 + \frac{1}{36}ml^2 = \frac{7}{36}ml^2$

Le sumamos la masa que se ha aderido m*r^2, siendo r 1/3 con erspecto al centro:

$\frac{7}{36}ml^2 + m(l/6)^2 = \frac{11}{36}ml^2$

Despejamos L = r x p; siendo r = 1/3*l y p m*v, siendo m 3m y v v/3. Sale:

$I\omega = r x p; \frac{11}{36}ml^2\omega = \frac{1}{3}l\cdot 3m\cdot \frac{v}{3}; \omega = \frac{36\cdot v}{33\cdot l}$

¿Qué paso está mal? Lo otro que he pensado es que al incrustarse la masa todos los momentos de inercia cambian, y que en el centro de masas tiene que estar la masa menor, al contrario de lo que pasa aquí que simplemente sumo la masa que le falta al momento de inercia. Si este es el caso no sabría como sacar el momento de inercia con respecto al centro de masas de la varilla.

[hennin]

Re: Problema de una varilla

Carmelo, podrías indicar los pasos. Gracias

[hennin]

Re: Problema de una varilla

Carmelo, tomando el origen como dices, w=12/13 * v/L

[xXminombreXx]

Re: Problema de una varilla

Vale, me salió, lo explico:

Hallamos el momenti de inercia de la barra con respecto al CM:

$$\frac{1}{12}2ml^2=\frac{1}{6}ml^2$$

El momento deinercia se define como:

$$\sum m_i{r_i}^2$$

Eso es lo ue hemos hallado, pero falta un elemento del sumatorio, la última masa que se incrusta, puese la sumamos:

$$\frac{1}{6}ml^2+m (\frac{1}{2}l)^2 = \frac{5}{12}ml^2$$

Ahora tenemos el momento de inercia con respecto al centro de masas de la varilla original, que se ha desplazado al incrustarse la masa. Es fácil ver que se ha desplazado l/6 hacia la derecha con la fórmula del centro de masas. Tenemos por entonces por el teorema de Steiner:

$$I' = I_{CM}+md^2$$

Despejamos I_{CM}:

$$I_{CM} = I' - md^2 = \frac{5}{12}ml^2-3m\cdot (\frac{l}{6})^2 = \frac{1}{3}ml^2$$

Ya lo tenemos:

$$|L| = I\omega; \omega = \frac{|L|}{I}$$

$$L = r\times p = r'm'v' = \frac{l}{3}\cdot 3m \cdot \frac{v}{3}$$

Sustituimos:

$$\omega = \frac{3vml}{3ml^2} = \frac{v}{l}$$

Salió, el otro apartado es sencillo, al final no era para tanto, en el teorema de Steiner cambiaba el I del centro de masas por el I fuera del centro de masas, eso era loq ue estaba haciendo mal. Espero que te sirva.