1r ciclo Problema mecanica: Resortes y poleas

[Nitroni]

Un bloque de masa m es suspendido horizontalmente de dos resortes
verticales con la fuerza constants k y 3k. La barra oscila
arriba y abajo quedando horizontal. Encontrar el periodo
de oscilacion del bloque. Desprecia la masa de la cuerda que
conecta los resortes y la friction entre la cuerda y la polea.



Necesito que alguien me ayude a resolver este problema. Las fuerzas que yo he planteado en la posicion de equilibrio:


k(Al)+3k(Al)-mg-2T=0

Si el cuerpo se mueve hacia arriba una distancia x la fuerza neta del muelle de constante k es:

Fneta= k(Al-x) -mg= -kx

Para el otro cuerpo de constante 3k:

Fneta= 3k(Al-x)-mg= -3kx

Aplicando la segunda ley de newton para las fuerzas del sistema:

3kx+kx-mg-2T=ma

No se si estara bien planteado, y si lo está, a partir de aqui que tengo que hacer.

[arivasm]

Re: Problema mecanica: Resortes y poleas

Las fuerzas que yo he planteado en la posicion de equilibrio:

k(Al)+3k(Al)-mg-2T=0

En primer lugar, el alargamiento de los dos resortes no tiene por qué ser el mismo.

Como tendrás que relacionarlos, puedes hacer uso de que al ser ideales la polea y la cuerda, habrá la misma tensión en ambos extremos de esta última. Por otra parte, también ayuda considerar que la cuerda es de longitud fija, de manera que habrá una relación entre el desplazamiento de la barra horizontal y los alargamientos de los resortes.

Aplicando la segunda ley de newton para las fuerzas del sistema:

3kx+kx-mg-2T=ma

Entre las fuerzas sobre la barra no puedes incluir la tensión de la cuerda como si actuase sobre ella, puesto que no lo hace (esto también afecta a la expresión que cito en primer lugar).

He editado este post, pues aquí había un error:
Por si ayuda, el resultado que encuentro, si no me he equivocado, es $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2 k}}$

El resultado correcto es éste $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{3 k}}$

[Nitroni]

Re: Problema mecanica: Resortes y poleas

entonces si lo planteo de acuerdo a como me has dicho:

En la posicion de equilibrio:

3k(Al)-k(Al')=mg

Si el cuerpo se mueve una distancia x hacia arriba:

3k(Al-x)-k(Al'-x)-(3k(Al)-k(Al'))=ma Resultando:

-3kx+kx=ma -----> -2kx/m= $-w^{2}x$ ----->>> w= $\sqrt{2}{k/m}$ , y el periodo seria:

T= 2$\pi$/w T=2$\pi \sqrt{}{m/2k}$

Es correcto?

[arivasm]

Re: Problema mecanica: Resortes y poleas

Antes de nada debo pedirte disculpas, pues he repasado mis cálculos y he descubierto un error en mi post anterior (y por eso lo he editado), de manera que el resultado final que obtengo es $2\pi \sqrt{\frac{m}{3k}}$. Me da rabia pensar que ello te haya podido ser causa de confusión. Espero que esta vez sea correcto todo lo que te diré.

En la posicion de equilibrio:

3k(Al)-k(Al')=mg

Los dos resortes ejercen sobre la barra fuerzas de la misma dirección y sentido, por tanto debes usar $3k\Delta l+k \Delta l'=mg$.

Si el cuerpo se mueve una distancia x hacia arriba:

3k(Al-x)-k(Al'-x)-(3k(Al)-k(Al'))=ma

Además del problema de que debe haber un + delante del segundo sumando, no es cierto que ambos resortes reducirán su alargamiento del mismo modo, es decir, pensar que la cuerda no se desplazará.

Por tanto, no te queda más remedio que manejar (si se sigue el camino que has elegido), de nuevo, dos variaciones en los alargamientos, de manera que si el cuerpo asciende x, entonces

$3k(\Delta l-y)+k(\Delta l'-y')-m g=ma$,

es decir

$3k(\Delta l-y)+k(\Delta l'-y')-(3k\Delta l + k \Delta l')= - 3 k y - k y' = m \frac{\dd^2 x}{\dd t^2}$

El problema ahora es relacionar x, y e y'. Para ello te aconsejo que sigas estas dos pistas:

1º Aplícale a la cuerda la 2ª ley de Newton, teniendo en cuenta que su masa es despreciable, lo que implica que las fuerzas que ejercen los resortes sobre los extremos de la cuerda serán iguales. Así encontrarás una relación entre y e y' (deberías encontrar que $y'=3y$).

2º La cuerda tiene una longitud fija, lo que significa que x, y e y' deben mantener cierta relación (si no me he equivocado, debe ser $2x=y+y'$).

Esta fue la parte que me dio más trabajo y donde cometí el error anterior. Por si te sirve de ayuda, yo me he ayudado de cantidades fijas, del estilo de la distancia entre el eje de la polea y la posición de equilibrio (d en el dibujo siguiente) y las longitudes naturales de los resortes ($l_0$ y $l'_0$, si bien acabarás antes si usas las longitudes de los resortes en la posición de equilibrio. He empleado el siguiente dibujo

En particular, he recurrido a la constancia de d en ambas situaciones, así como que $a_0+a'_0=a+a'$

Espero que todo esto esté bien y que te ayude.

[Nitroni]

Re: Problema mecanica: Resortes y poleas

bueno lo que no me cabia en la cabeza era que cuando el bloque se desplaza una distancia x, los resortes no sufren los mismos alagarmiento por eso hay 3 variables.
Lo que no me queda muy claro es la relacion que has sacado 2x=y+y', vamos, el proceso que has tomado, yo lo entiendo asi:

$(d-x)-( lo+\Delta l-y) + \pi R + (d-x)-(lo'+\Delta l'-y') = cte$

Si eliminamos los terminos que permanecen constantes:

$-x+y-x+y'=cte$

Que en realidad es como dedujistes:

$2x=y+y'$

A partir no estoy muy seguro que tengo que hacer. Corrigeme si me equivoco:

$-3ky-ky'=m \ddot x/dt^2$

Utilizando la relacion entre y e y':

$y'=3y$

$-6ky/m= \frac{\ddot x}{dt^2}$

$\frac{-6ky}{m}= w^2x$

Utilizando la relacion de x con y e y':

$\frac{-6ky}{m}= w^2 (\frac{y+y'}{2})\to \frac{-6ky}{m}= -w^2 (\frac{y+3y}{2})\to \frac{-6ky}{m}= -w^22y$

$w=\sqrt{\frac{3k}{m}$

Y el periodo:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{3k}}$

Es asi la resolucion que le has dado tu?. Yo creo que esta todo bien.

[arivasm]

Re: Problema mecanica: Resortes y poleas

$(d-x)-( lo+\Delta l-y) + \pi R + (d-x)-(lo'+\Delta l'-y') = cte$

Si eliminamos los terminos que permanecen constantes:

$-x+y-x+y'=cte$

Que en realidad es como dedujistes:

$2x=y+y'$

Sólo por pulir un poco lo que has escrito: la constante la determinas para el caso en que $x=0$ (y por tanto $y=y'=0$), y por eso queda $2x=y+y'$.

Por lo demás, el resto es correcto. Quizá te quede un poco más elegante si finalmente en lugar de escribir la ecuación en y lo haces en x, pues es la coordenada del móvil cuyo movimiento te piden estudiar. De hecho, al combinar $2x=y+y'$ con $y'=3y$ te queda $x=2y$ y entonces $-6ky/m= \ddot x$ la puedes escribir $-3kx/m= \ddot x$

[Nitroni]

Re: Problema mecanica: Resortes y poleas

pues muchas gracias arivasm,ya lo tengo todo claro, la verdad es que me has ayudado mucho y me has abierto la mente bastante haciendome comprender este problema.

[angel relativamente]

Re: Problema mecanica: Resortes y poleas

Genial Nitroni, ahora solo falta pulsar el botón "gracias", que para algo el bueno de arivasm se ha molestado en ayudarte