1r ciclo Periodo pequeñas oscilaciones

[Zhisi]

Buenas!! Estoy con este ejercicio (es el 18) y no hay manera de sacarlo. Me lo explicó el profesor, y creí tenerlo claro hasta que llegué a casa y no fuí capaz de hacerlo.


Es el 18. Es la continuación del 17. El 17 lo tengo hecho sin problemas pero con el 18...
He llegado a una ecuación con la que obtengo la velocidad en función del eje horizontal x. Considero x=0 justo debajo del centro de la semicircunferencia y negativo a su izqrda.
Esta ecuación la saco a partir de la conservación de la energía.

${v}^{2 }=2g\sqrt{{R}^{2}-{x}^{2} }$ (editado: x^2 tenia que estar dentro de la raíz)

donde R es el radio y x la posición de la párticula.

No se como pasar de ahí. Si pudiera poner la velocidad en función del tiempo seria sencillísimo pero...

Gracias!!

[arivasm]

Re: Periodo pequeñas oscilaciones

Fíjate en que la trayectoria será un arco de circunferencia, y que las fuerzas sobre el cuerpo son el peso y la reacción (que es radial), por lo que es una situación completamente análoga a la de un péndulo simple. Por tanto, el resultado deberá ser $2\pi\sqrt{R/g}$.

Con respecto a tu tratamiento, está claro que hay algo que está mal, pues la expresión que escribes ni siquiera es homogénea dimensionalmente (x² no tiene las mismas dimensiones que v²). Quizá debas tener en cuenta que para el problema 18 el punto de partida ya no es A, sino otro que estará próximo al fondo del semicírculo.

[dvc]

Re: Periodo pequeñas oscilaciones

Bueno, si te fijas el peso se puede dividir en dos componentes. Una componente perpendicular a la superficie que se anulará con la fuerza normal y otra componente tangencial que provocará una aceleración tangencial. Usando la segunda ley de Newton se obtiene que:

$-mgsin(\alpha )=ma$
Donde $\alpha$ es el ángulo que forma la posición de la pelota con el eje vertical (los ángulos cuando la pelota está a la izquierda los considero negativos y cuando está a la derecha positivos). Teniendo en cuenta que:
$sin(\alpha)=\frac{x}{R }$ obtenemos que:
$a= -\frac{g}{R}x=\frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d}t^2 } +\frac{\mathrm{d^2} x}{\mathrm{d} t^2}\approx \frac{\mathrm{d^2} x}{\mathrm{d}t^2 }$
Por tanto, para pequeñas oscilaciones obtenemos que:

$\frac{\mathrm{d^2}x }{\mathrm{d}t^2 } =-\frac{g}{R}x= -\omega ^2x\Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{g}{R }}=\frac{2\pi }{T }$

Obteniendo así el valor del periodo de las oscilaciones.
Básicamente, la aproximación que estoy haciendo es que para ángulos pequeños, la aceleración tangencial es aproximadamente igual a la aceleración en el eje x.

[arivasm]

Re: Periodo pequeñas oscilaciones

...el peso se puede dividir en dos componentes. Una componente perpendicular a la superficie que se anulará con la fuerza normal...

No es cierto que en todos los puntos de la trayectoria la componente radial del peso se anule con la fuerza normal. Si fuese así, la componente radial de la fuerza resultante sería nula y entonces, de acuerdo con la segunda ley de Newton, sería nula la componente centrípeta de la aceleración, $v^2/R$. Por tanto, la afirmación sólo es correcta para los puntos de retroceso.

El resto del razonamiento de dvc es prácticamente correcto si donde él ha escrito $a$ entendemos que se refiere exclusivamente a la aceleración tangencial.

No obstante, haré otra matización: la aceleración tangencial es $a_t = \frac{\dd v}{\dd t} = \frac{\dd^2 s}{\dd t^2} = R \frac{\dd^2 \alpha}{\dd t^2}$, siendo $s$ el arco medido desde el punto de equilibrio (pero como coordenada con signo). Al hacer la aproximación $\sin \alpha \approx \alpha = \frac{s}{R}$, lo que encontramos es que $\frac{\dd s^2}{\dd t^2} \approx - \frac{g}{R} s$.

Aunque es cierto que podemos aproximar $s\approx x$ estaremos añadiendo una nueva aproximación que, como vemos, es innecesaria para concluir que el movimiento es armónico simple. Eso sí, este último en lugar de producirse sobre una recta se produce sobre un arco de circunferencia.

[dvc]

Re: Periodo pequeñas oscilaciones

Vaya, lo siento tienes toda la razón. No pensé demasiado el problema antes de intentar resolverlo.

[arivasm]

Re: Periodo pequeñas oscilaciones

Vaya, lo siento tienes toda la razón. No pensé demasiado el problema antes de intentar resolverlo.

No te preocupes, pues es un error clásico. De hecho he llegado a verlo en libros de texto aplicado al péndulo!

En mi opinión es muy interesante reflexionar acerca de lo que significa acerca de cómo funciona nuestra mente como físicos (con minúsculas y el nuestra aplicado a todas las personas). Quiero decir que, en realidad, el fallo no revela tus limitaciones, dvc, sino las que nos impone eso que llamamos sentido común, que no es más que un "kit de cuasi-ciencia para momentos de supervivencia". De hecho, como muy bien dices, si uno lo piensa con algo de detenimiento (lo que incluye conocer las leyes de Newton, como nos sucede a la mayoría de los que nos pasamos por este foro) no se cae en la trampa. De algún modo es una trampa que la intuición le pone a la razón y que evidencia que no es extraño que la física aristotélica perdurase durante milenios, y que también sirve para reconocer parte del enorme mérito de Newton.

Saludos, amigos.

[Zhisi]

Re: Periodo pequeñas oscilaciones

Se me ha borrado todo lo que tenía escrito arrrrrrrrrrrrrrrrrr!! marinero!!

No esperaba tanta colaboración así Gracias!!

He corregido mi ecuación de la velocidad, me lie con latex y la x^2 se quedó fuera de la raíz cuando debería estar dentro, y ahora si que tienen coherencia las dimensiones de ambos lados de la igualdad. También había pensado en usar la fórmula del péndulo pero no vale, tengo que deducirla, si no me mandan de vuelta a casa.

No lo acabó de ver claro. Por ejemplo, dvc, con el seno de alfa obtienes la aceleración tangencial:
${a}_{t }=mg\sin \alpha$
sin embargo
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
lo que si es cierto para la aceleración normal
${a}_{n }={\omega }^{ 2}R$
Otra cosa que no entiendo es por qué tomas negativa la aceleración tangencial (¿es porque consideras alfa negativo hacia la izqda? $\sin (-\alpha )=-\sin\alpha$)

Creo que más o menos lo tengo resuelto, lo copio a ver que os parece:

${a}_{t}=-g\sin\alpha=-g\frac{x}{ R} =\frac{\mathrm{d}^{2}x }{\mathrm{d}{t}^{2} }$

$\frac{\mathrm{d}^{2}x }{\mathrm{d}{t}^{2} }-g\frac{x}{ R}=0<br />$

En este punto, resolvemos la ecuación diferencial, pero como todavía no las hemos dado en la carrera pues tenemos unas tablas con algunas soluciones generales y esa es una de las que tenemos la solución que es del tipo:

$x(t)={K}_{1}\sin({K}_{2}t+{K}_{3})$

donde

${K}_{2}=\sqrt{g/R}$
${K}_{1}={x}_{maximo}$
${K}_{3}={\alpha}_{0}$

de aqui sacamos omega que es K2 y T

$2\pi/ \omega=2\pi/ \sqrt{g/R}=T$


Bien, pues eso creo yo que es la resolución tal y como acostumbra a hacerlas nuestro profesor.

¿Qué opinais?

Un saludo!

[arivasm]

Re: Periodo pequeñas oscilaciones

$2\pi \omega=2\pi \sqrt{g/R}=T$

Una corrección: $\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{g/R}}=T$

Por lo demás, todo OK. Quizá, unicamente volveré a ser "picajoso" con lo que ya comenté anteriormente: si x es una coordenada medida sobre el arco mejor que si es la coordenada cartesiana habitual.

[Zhisi]

Re: Periodo pequeñas oscilaciones

Cierto, ya esta corregido.

si x es una coordenada medida sobre el arco mejor que si es la coordenada cartesiana habitual.

¿poniendo x en función de alpha? $x=\alpha R$ por ejemplo ¿?

[arivasm]

Re: Periodo pequeñas oscilaciones

¿poniendo x en función de alpha? $x=\alpha R$ por ejemplo ¿?

Exacto, la longitud del arco es igual al radio por el ángulo expresado en radianes.

[dvc]

Re: Periodo pequeñas oscilaciones

Hola, tu solución está bien.

sin embargo

lo que si es cierto para la aceleración normal

Lo siento, no me he explicado muy bien. En este caso $\omega$ no es la velocidad angular ni nada por el estilo. Simplemente estoy llamando $\omega^2$ a la constante g/r. Normalmente, cuando se tiene que la aceleración en un eje es igual a una constante negativa por la posición en dicho eje, a dicha constante se le llama $-\omega^2$. Resolviendo la ecuación diferencial se obtiene que el movimiento en ese eje es armónico simple y el periodo viene dado por:
$T=\frac{2\pi }{\omega }$

Otra cosa que no entiendo es por qué tomas negativa la aceleración tangencial (¿es porque consideras alfa negativo hacia la izqda? )

Si, lo había puesto en mi mensaje. Considero los ángulos a la izquierda negativos de ahí el signo menos en la ecuación. (Cuando la pelota está
a la izquierda $sin(\alpha )$ es negativo y la aceleración tangencial es positiva.

Supongo que lo tendrá claro, pero por si acaso te lo comento. Si consideras x como el parámetro de arco, la ecuación $-gsin(\alpha )=-g\frac{x}{R }$ sólo vale para ángulos pequeños.
Si llamas x a la coordenada cartesiana habitual la ecuación anterior es siempre cierta. Sin embargo, la ecuación $a_t=\frac{\mathrm{d^2x} }{\mathrm{dt^2} }$ sólo vale para ángulos pequeños.