1r ciclo Calcular centro de masas

[xXminombreXx]

Tengo un problema con este ejercicio. No se como resolverlo:

Tenemos un disco muy delgado de densidad uniforme al que le hemos hecho dos agujeros circulares de un radio r. El centro de estos dos agujeros está a una distancia del centro del disco de la mitad del radio del mismo. Los radiovectores de los centros de los agujeros forman un ángulo alfa entre ellos. ¿Cuál es el centro de masas?

No se como plantearlo, nada más de decir que el centro de masas tendrá qeu pasar por el único eje de simetría que veo, el eje que pasa por el centro del disco a la misma distancia de cada agujero.

[Artos]

Re: Calcular centro de masas

intenta plantear superposicion, el vector posicion del centro de masa del disco grande menos los vetores posicion de los centros de masa de los discos que quitas. creo que por ee lado seria mas facil

[xXminombreXx]

Re: Calcular centro de masas

Ok, gracias. Osea es simplemente ir restando $m_i\cdot r_i$, al sumatorio $\sum (m_i\cdot r_i)$, ¿no?

Separo la posición del centro de masas en dos componentes y lo calculo desde el centro de masas del disco original sin agujeros, osea el medio. a la x la resto la componente x de cada agujero por su radiovector y a la y lo mismo? Me dan números realistas, porque me queda un centro de masas situado en el eje que comenté antes, así que parece ir bien.

[arivasm]

Re: Calcular centro de masas

Sólo un matiz a la respuesta de Artos: teniendo en cuenta la masa del disco original y la masa de los discos que quitas. La idea sería imaginar el sistema como si estuviese constituido por el disco original más dos agujeros de "masa negativa".

Veo que mientras escribí el post xXMinombreXx ya había escrito la respuesta correcta.

[xXminombreXx]

Re: Calcular centro de masas

Osea, hago esto. Suponemos un agujero que etá en el exe x, y otro forma 150 grados, todo descrito como en el primer post. El origen de coordenadas está en el centro del círculo.

Entonces tenemos en el original:
$X_{CM} = 0$
$Y_{CM} = 0$

X_CM e Y_CM son las coordenadas del centro de masas, pues a cada uno le empezamos a restar.

R = radio del círculo
R/2 distancia del centro de los agujeros al centro del círculo
R/4 radio de los agujeros.

Pues restamos, si un agujero está en el eje x:

$0-m_ir_i = \lambda \pi {\frac{R}{4}}^2 \frac{R}{2} = \lambda \pi \frac{R^3}{32}$

lambda es la densidad del disco (lo considero de dos dimensiones)

Lo dejamos positivo porque está a la izquierda, así que el r es negativo. (el centro de masas se mueve a la derecha al hacer el agujero a la izquierda.

Ahora le restamos la componente X del otro agujero, sabiendo que forma 150 grados con el primero, osea 60 grados con la vertical:

$\lambda \pi \frac{R^3}{32} - \lambda \pi \frac{R^2}{16}\frac{R}{2}\sin 60 = \lambda \pi \frac{R^3}{64}(2-\sqrt{3})$

Ahora vamos con la componente Y del centro de masas, afectado solo por el segundo agujero, ya que el primero se encontraba en el eje x.

$0-\lambda \pi\frac{R^2}{16}\frac{R}{2}\sin 30 = -\lambda \pi \frac{R^3}{64}$

Ya está. Si con esas coordenadas hallamos el ángulo que forman con la horizontal sal 75 grados, justo el ángulo del eje de simetría (150/2 = 75).

¿Está esto bien hecho?

EDITO: Veo que mientras escribía arivasm ha puesto que lo que hago conceptualmente está bien, así que supongo que la solución es buena. Gracias a los dos.

[arivasm]

Re: Calcular centro de masas

Veo que respecto de tu primer post estás fijando detalles que no aparecían en él, como por ejemplo que el ángulo es de 150º y que el radio de los agujeros era la cuarta parte del radio del disco. ¿Es así o, por el contrario hay que encontrar una respuesta general?.

En segundo lugar, como muy bien decías anteriormente, el sistema tendrá un eje de simetría. Por tanto, es más aconsejable para no cometer errores elegir uno de los ejes de coordenadas coincidiendo con él, pues así tienes la garantía de que la otra coordenada del cdm será nula. Por lo demás, veo acertada la elección del centro del disco como origen de coordenadas.

Con respecto a lo que tienes escrito en el post anterior, me da la sensación de que podría haber errores. A ver si soy capaz de decir el motivo. Las coordenadas del cdm serán, si el origen está en el centro del disco original, las que resulten de hacer este cálculo

${M\vec{0}-m\vec{r_1}-m\vec{r_2}}\over{M-2 m}$

donde M es la masa del disco original, m la que se quita en cada agujero y $\vec{r_i}$ las coordenadas de los centros de éstos. Me parece que tus cálculos se están reduciendo al numerador.

Por si sirve de algo, mi resultado es éste: el cdm se desplaza una distancia $R\frac{r^2\cos(\alpha/2)}{R^2-2 r^2}$, que para 150º y r=R/4 vale 0,0185 R.

[xXminombreXx]

Re: Calcular centro de masas

Es cierto, me falta eso. Gracias por la ayuda. Al dividir entre la masa total me da lo mismo que a tí.

Muchas gracias.