1r ciclo Oscilaciones

[skwp]

Hola chicos!
Haber si alguno de vosotros me puede decir si voy por buen camino.

Tengo el siguiente problema;

Tenemos una masa de m=10kg unida a un resorte de constante k=100N/m y con un amortiguamiento creado por una fuerza disipatiba proporcional a la velocidad de la masa donde la constante de proporcionalidad es k/2.

A) Si la amplitud es A=0.07m. Cuanto tiempo transcurre hasta que la amplitud es A/2?
Yo he hecho


B) Cuanto tiempo transcurre hasta que se ha disipado la mitad de la energía inicial?
Yo he hecho

Y allí me he quedado...


Lo que he echo es correcto? Voy por buen camino?

[arivasm]

Re: Oscilaciones

He visto que este hilo estaba quedando sin respuesta y por eso he estado dándole algunas vueltas al problema.

En primer lugar, el propio enunciado no tiene sentido: si k es la constante del resorte (luego de dimensiones [F]/L) k/2 no puede ser la constante de proporcionalidad entre una fuerza disipativa y la velocidad del móvil, pues las dimensiones de esta última necesariamente serán de fuerza/velocidad, es decir, las de k pero multiplicadas por unidades de tiempo.

En segundo lugar, lamento decirte que lo que has escrito está muy desenfocado (e incluso tiene errores de concepto, como es tomar elongación como amplitud), ya que el problema hay que abordarlo de un modo absolutamente diferente. En el caso de un cuerpo sobre el que actúe una fuerza elástica recuperadora $-kx$ y otra proporcional a la velocidad $-\gamma \dot x$, la segunda ley de Newton conduce a la ecuación diferencial $\ddot x = - \frac{k}{m}x-\frac{\gamma}{m}\dot x$. Si llamamos $\omega^2 = \frac{k}{m}$ y $\beta=\frac{\gamma}{2 m}$, la ecuación pasa a ser $\ddot x + 2 \beta \dot x+\omega^2 x = 0$, cuya solución general será una combinación lineal de dos términos de la forma $x=e^{-\mu t}$. Al substituir vemos que $\mu = - \beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega^2}$. De esta manera, el comportamiento del sistema dependerá del valor que tenga el discriminante en la raíz: si es positivo no tenemos oscilaciones, sino un sistema que decae exponencialmente hacia la posición de equilibrio, si es negativo entonces tenemos oscilaciones amortiguadas, es decir, de la forma $A e^{-\beta t}\sin\left( \sqrt{\omega^2-\beta^2} t+\varphi_0\right)$.

Así pues, el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de la inicial equivale a preguntarse para qué valor de t se cumple que $e^{-\beta t}=\frac{1}{2}$. Evidentemente la respuesta es $t=\frac{\ln 2}{\beta}$. Por supuesto, podríamos aplicarlo al caso de tu problema, pero no pretendo resolverlo, sino simplemente contarte que la orientación que debes adoptar es muy diferente.

En definitiva, te recomiendo que estudies las oscilaciones amortiguadas, porque, como ves, el tema tiene poco que ver con lo que tú exponías en tu consulta.

Con respecto a la segunda parte, el problema es semejante a la primera, pues la energía del oscilador es $\frac{1}{2}m\omega^2 A(t)^2$, con lo que se reduce también a una pregunta sobre la amplitud.