Divulgación Efecto giroscópico

[xXminombreXx]

Buenas a todos.

He estado intentando sacar por mi cuenta las ecuaciones de un par de cosillas con respecto al efecto giroscópico, ya sea peonza, o el típico disco de lado colgado que gira con respecto al hilo de donde cuelga, véase a lo que me refiero:

Estoy teniendo dificultades para sacar el periodo de precesión. Teniendo en cuenta que el momento de fuerza es siempre prependicular al momento angular, el momento angular no cambia en módulo, sólo de dirección, así que he intentado tratarlo de manera similar a como una aceleración normal cambia sólo la dirección de la velocidad en un movimiento circular, aunque no tenga nada que ver, pero no saco nada lógico.

?Alguna ayuda?

[xXminombreXx]

Re: Efecto giroscópico

¿Nadie?

[arivasm]

Re: Efecto giroscópico

No es un problema fácil, al menos para mí. Por lo que he visto, el enfoque más riguroso para el estudio de la precesión en general pasa por usar los ángulos de Euler, pero no lo encontré sencillo y lo he dejado en la lista de cosas que debería estudiar. Si quieres, puedes echarle un vistazo a este documento donde se da una explicación algo más sencilla.

[xXminombreXx]

Re: Efecto giroscópico

Me da un internal server error abrir ese link. De todos modos es curioso, porque me he visto esa clase de Lewin entera y al llegar a esa parte dice que hallar la expresión de la precesión es un tema puramente matemático, dice algo así como: "Está hecho en vuestro libro y es bastante sencillo, así que no lo voy a hacer yo". Esas clases son de introducción a la física para undergrads, así que son más o menos mi nivel (1º de grado)... supuse que no sería muy complicado.

La expresión a la que llega él, (no se si se ve en algún momento del video, me he tenido que ir a la clase entera a buscarla) es: $\omega_{pr} = \frac{\tau}{L_s}$

Siendo omega_pr la frecuencia de precesión, Tau el momento que surge por la gravedad y la tensión de la cuerda, y L_s el momento angular de la rueda, el que va hacia un lado u otro de la rueda, no el que surge por la precesión, hacia arriba o abajo.

[arivasm]

Re: Efecto giroscópico

En primer lugar, ya he corregido el enlace defectuoso.

El razonamiento que hago es el siguiente (pero no creas que me convence mucho, a pesar de que llego a la expresión que indicas): Partamos de la relación $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \frac{\dd \vec{L}}{\dd t}$. En nuestro caso, $\vec{F}$ es el peso del giróscopo, y $\vec{r}$ es un vector que va desde el punto de apoyo hasta el centro del giróscopo.

Si este último está girando con su eje horizontalmente, es decir, si $\vec{r}$ es horizontal (y lo mismo sucederá con $\vec{L}$), el momento dinámico $\vec{\tau}$ también será horizontal. Por tanto, en un tiempo infinitesimal, $\dd t$, el cambio que se producirá en el momento angular $\dd \vec{L}=\vec{\tau} \dd t$, será perpendicular a $\vec{L}$, con lo que no afectará a su módulo, sólo variará su dirección.

De algún modo, la situación es análoga al caso de una partícula sometida a una fuerza resultante centrípeta. Es decir, al igual que la expresión $\vec{F}=\frac{\dd \vec{p}}{\dd t}$ nos lleva a que el módulo de $\vec{p}=m\vec{v}$ se mantiene constante, cambiando sólo de dirección, $\vec{\tau}=\frac{\dd \vec{L}}{\dd t}$ nos lleva en este caso a lo mismo con respecto del módulo de $\vec{L}$.

Por tanto, si admitimos que en nuestro caso $\dd \vec{L}$ sólo implicará un cambio de dirección en la dirección de $\vec{L}$, tendremos que $|\dd \vec{L} |= L \dd \alpha$, donde llamo $\alpha$ al ángulo que forma $\vec{r}$ con una dirección horizontal arbitraria (es decir $\dd \alpha / \dd t$ es la velocidad angular de precesión del giróscopo).

¿De dónde saco esa expresión? Pues de nuevo por analogía con el caso de la partícula sometida a una resultante centrípeta: $|\dd \vec{p} |= p \dd \alpha$.

Así pues, si combinamos $\dd \vec{L}=\vec{\tau} \dd t$ con $|\dd \vec{L} |= L \dd \alpha$, tenemos que $\tau= L \frac{\dd \alpha}{\dd t} = L \omega_{pr}$. Por cierto que veo que aunque es la misma expresión que tú indicas, la diferencia está en que, según lo que he escrito, $\tau$ no procede de la tensión de la cuerda, sino del peso del giróscopo (aunque entiendo que los módulos de ambas fuerzas son iguales), es decir, $\tau = M g r$.

[xXminombreXx]

Re: Efecto giroscópico

así que he intentado tratarlo de manera similar a como una aceleración normal cambia sólo la dirección de la velocidad en un movimiento circular, aunque no tenga nada que ver, pero no saco nada lógico.

Era lo que había puesto en mi primer post, veo que has hecho lo mismo, pero llegando a algo,
Si llegas a eso, para mi sí que tiene sentido, ¿qué es lo que no te convence?

Por cierto, gracias por tu tiempo y tu ayuda.

Sobre lo de de dónde proviena tau, sí es lo mismo, pero supongo que la tensión es esencial, y puesto que no se cae, es igual al peso... Precisamente por eso hay un momento de fuerza neto, ¿no? porque lo cuelgas de una cuerda... pero sí, es eso, porque en la clase al desarrollar esa expresión, la tau la cambia por Mgr

[arivasm]

Re: Efecto giroscópico

Tampoco te creas que tengo mis dudas lo suficientemente claras como para hacerlas explícitas. Como digo a veces, tengo un par de neuronas que están discutiendo en mi cabeza, pero sin que pueda oírlas con claridad (es una metáfora, no pienses que estoy como una cabra!, al menos por esto). De algún modo tengo la sensación de estar haciendo alguna trampa, que seguramente finalmente será válida, que tiene que ver con introducir un sistema de referencia en rotación... Mmm, no sé. Quizá la manera más clara de decirlo sería ésta: ¿y si el vector $\vec{r}$ que introduje antes no está horizontal?. No veo nada claro que las artimañas anteriores nos conduzcan a una respuesta correcta.

Como ves, no me siento muy seguro con este problema, y mis neuronas rebeldes me dicen una y otra vez: "mírate los ángulos de Euler, mírate los ángulos de Euler...". A ver si las tuyas están más tranquilas!

Y como siempre, las gracias también te las doy a ti, pues como decía la canción de Antonio Vega: "la Física es un placer"!

Saludos!

[xXminombreXx]

Re: Efecto giroscópico

La verdad es que cuando el $\vec{r}$ no es horizontal es un poco raro. Me siento tentado a simplemente decomponer el L en uno vertical y otro horizontal, y hacer lo mismo que has hecho tú pero con la componente horizontal del L. sin embargo, viéndolo gráficamente, y teniendo en cuenta que el L "persigue" al Tau, parecería que el L tendría que tender a ser horizontal, pero es evidente que no es eso lo que pasa, por ejemplo con una peonza. Parece que solo cambia la componente horizontal del L...

[arivasm]

Re: Efecto giroscópico

Sólo diré que mis neuronas protestonas, siguiendo con la analogía de mi post anterior, acaban de gritar de satisfacción al leer el tuyo: "Eso, eso! la peonza!, la peonza!".

Ahora en serio, has dado en el clavo con el ejemplo que has elegido. A ver si un alma piadosa de los que leen este foro nos dan una explicación, y si no aparece nadie, casi que propondría abrir un hilo pidiendo que alguien nos explique la precesión de una peonza.

Me veo venir unas navidades dedicadas a los ángulos de Euler...

[xXminombreXx]

Re: Efecto giroscópico

Bueno, me he dado cuenta de que es imposible que el momento de fuerza, que es siempre horizontal, actúe sobre la componente vertical del momento angular cuando $\vec{r}$ no es horizontal. Actúa sólo sobre su componente horizontal, sin embargo esta sigue la linea del eje de giro, así que debe pasar lo mismo que en el giroscopio cuando r es horizontal... Si aceptamos la solución por analogías con la aceleración, entonces para un caso más general, siendo $\alpha$ el ángulo que forma el eje con la vertical, la frecuencia de precesión debería ser: $w_{pr} = \frac{\tau}{L\sin \alpha}$

[arivasm]

Re: Efecto giroscópico

Tienes razón. Gracias por tranquilizar mis neuronas!

[xXminombreXx]

Re: Efecto giroscópico

La verdad es que me costó darme cuenta, no se por qué. Tendía a pensar que el momento angular debía bajar para encontrarse con el momento de fuerza. Por así decirlo se perseguían, en vez ser uno la derivada del otro, que es bastante más simple